TR | RU | KK | BE | EN |

Момент (математика)


Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Зміст

  • 1 Означення
    • 1.1 Зауваження
  • 2 Геометрична інтерпретація деяких моментів
  • 3 Обчислення моментів
  • 4 Див. також
  • 5 Джерела
  • 6 Зноски

Означення

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини ξ {\displaystyle \xi } , яка приймає значення x i {\displaystyle x_{i}} з ймовірністю p i {\displaystyle p_{i}} , де i = 1 , 2 , 3... {\displaystyle i=1,2,3...} , називається число M ξ n = ∑ i = 1 ∞ x i k p i {\displaystyle M\xi ^{n}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}p_{i}} , якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто M | ξ n | = ∑ i = 1 ∞ | x i k | p i < ∞ {\displaystyle M|\xi ^{n}|=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}^{k}|p_{i}<\infty } .

Величина M | ξ n | {\displaystyle M|\xi ^{n}|} називається абсолютним моментом випадкової величини ξ {\displaystyle \xi } .

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини ξ {\displaystyle \xi } з густиною p ( x ) {\displaystyle p(x)} , називається число M ξ n = ∫ − ∞ ∞ x k p ( x ) d x {\displaystyle M\xi ^{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}p(x)dx} , якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто M | ξ n | = ∫ − ∞ ∞ | x k | p ( x ) d x < ∞ {\displaystyle M|\xi ^{n}|=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{k}|p(x)dx<\infty } .


Якщо дана випадкова величина X , {\displaystyle \displaystyle X,} визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини X {\displaystyle \displaystyle X} називається величина

μ k = E [ ( X − E X ) k ] , {\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left,}

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

ν k = E [ X k ] , {\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left,}

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

k {\displaystyle \displaystyle k} -им факторіальним моментом випадкової величини X {\displaystyle \displaystyle X} називається величина μ k = E [ X ( X − 1 ) . . . ( X − k + 1 ) ] , {\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left,}

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

μ 1 = 0 , {\displaystyle \displaystyle \mu _{1}=0,} μ 2 = ν 2 − ν 1 2 , {\displaystyle \displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},} μ 3 = ν 3 − 3 ν 1 ν 2 + 2 ν 1 3 , {\displaystyle \displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},} μ 4 = ν 4 − 4 ν 1 ν 3 + 6 ν 1 2 ν 2 − 3 ν 1 4 , {\displaystyle \displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},} і т. д.

Геометрична інтерпретація деяких моментів

  • ν 1 {\displaystyle \displaystyle \nu _{1}} дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
  • μ 2 {\displaystyle \displaystyle \mu _{2}} дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини ( μ 2 = σ 2 ) {\displaystyle \displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})} і показує розкид розподілу довкола середнього значення.
  • μ 3 {\displaystyle \displaystyle \mu _{3}} , будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
γ 1 = μ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}} називається коефіцієнтом асиметрії.
  • μ 4 {\displaystyle \displaystyle \mu _{4}} контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
γ 2 = μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3} називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. X . {\displaystyle \displaystyle X.}

Обчислення моментів

  • Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функії випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю f ( x ) , {\displaystyle \displaystyle f(x),} маємо:
ν k = ∫ − ∞ ∞ x k f ( x ) d x , {\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,}

якщо

ν k = ∫ − ∞ ∞ | x | k f ( x ) d x < + ∞ {\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty }} ,


а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей p ( x ) {\displaystyle \displaystyle p(x)} :


ν k = ∑ x x k p ( x ) , {\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),}


якщо ν k = ∑ x | x | k p ( x ) < + ∞ . {\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.}

  • Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію φ ( t ) {\displaystyle \displaystyle \varphi (t)} :
ν k = − i k d k d t k φ ( t ) | t = 0 . {\displaystyle \nu _{k}=\left.-i^{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\varphi (t)\right\vert _{t=0}.}
  • Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, M X ( t ) , {\displaystyle \displaystyle M_{X}(t),} , то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
ν k = d k d t k M X ( t ) | t = 0 . {\displaystyle \nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}.}

Можна також розглядати моменти в.в. для значень k {\displaystyle k} , що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу k {\displaystyle k} , називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також

  • Математичне сподівання
  • Дисперсія випадкової величини

Джерела

  • Сеньо П. С. (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448. 


Зноски

  1. а б Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник. (укр). К.: ВПЦ "Київський університет". Архів оригіналу за 2007-02-24. 


Момент (математика) Інформацію Про

Момент (математика)


  • user icon

    Момент (математика) beatiful post thanks!

    29.10.2014


Момент (математика)
Момент (математика)
Момент (математика) Ви переглядаєте суб єкт.
Момент (математика) що, Момент (математика) хто, Момент (математика) опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Випадкові Статті

Ophidion scrippsae

Ophidion scrippsae

Ophidion scrippsae — вид риб родини Ошибневих Ophidiidae Поширений у східній Пацифіці від Пойнт...
Комар Володимир Степанович

Комар Володимир Степанович

Медіафайли у Вікісховищі У Вікіпедії є статті про інших людей з прізвищем Комар Володимир Ст...
1 липня

1 липня

1 липня — 182-ий день року (183-ий в високосні роки) в григоріанському календарі. До кінця року...
Хачеріді Євген Григорович

Хачеріді Євген Григорович

* Ігри та голи за професіональні клуби враховуються лише в національному чемпіонаті. Інформацію поно...