Момент (математика)

Момент случайной величины - числовая характеристика распределения данной случайной величины.
Содержание
1 Определение
1.1 Замечания
2 Геометрическая интерпретация некоторых моментов
3 Вычисление моментов
4 См. также
5 Источники
6 Сноски
Определение
Моментом n-того порядка дискретной случайной величины



& # x03BE;


{ displaystyle xi}

, которая принимает значение




x

i




{ displaystyle x_ {i}}

с вероятностью




p

i




{ displaystyle p_ {i}}

, где



i
= 1
, 2
,
3 ...


{ displaystyle i = 1,2,3 ...}

, называется число



M

& # x03BE;

n


=

& # x2211;

i
=
1


& # x221E;



x

i


k



p

i




{ displaystyle M xi ^ {n} = sum _ {i = 1} ^ { infty} x_ {i} ^ {k} p_ {i}}

, если этот ряд совпадает абсолютно, то есть



M

|


& # x03BE;

n



|

=

& # x2211;

i
=
1


& # x221E;


|


x

i


k



|


p

i


& lt;
& # x221E;


{ displaystyle M | xi ^ {n } | = sum _ {i = 1} ^ { infty} | x_ {i} ^ {k} | p_ {i} & lt; infty}

. [1]
Размер



M

|


& # x03BE;

n



|



{ displaystyle M | xi ^ {n} |}

называется абсолютным моментом случайной величины



& # x03BE;


{ displaystyle xi}

.
Моментом n-того порядка непрерывно случайной величины



& # x03BE;


{ displaystyle xi}

с плотностью



p
(
x
)


{ displaystyle p (x)}

, называется число



M

& # x03BE;

n


=

& # x222B;

& # x2212;
& # x221E;


& # x221E;



x

k


p
(
x
)
d
x


{ displaystyle M xi ^ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {k} p (x) dx}

, если интеграл сходится абсолютно, то есть



M

|


& # x03BE;

n



|

=

& # x222B;

& # x2212;
& # x221E;


& # x221E;



|


x

k



|

p
(
x
)
d
x
& lt;
& # x221E;


{ displaystyle M | xi ^ {n} | = int _ {- infty} ^ { infty} | x ^ {k} | p (x) dx & lt; infty}

. [1]
Если данная случайная величина




X
,



{ displaystyle displaystyle X}

определена на некотором вероятностном пространстве, то центральным моментом (k-го порядка) случайной величины




X



{ displaystyle displaystyle X}

называется величина




& # x03BC;

k


=

E


[
(
X
& # x2212;

E

X

)

k


]

,


{ displaystyle mu _ {k} = mathbb {E} left [(X - mathbb {E} X) ^ {k} right]}

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Исходным моментом k-го порядка называется величина:




& # x03BD;

k


=

E


[

X

k


]

,


{ displaystyle nu _ {k} = mathbb {E} left [X ^ {k} right]}

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено .




k



{ displaystyle displaystyle k}

-ным факториальным моментом случайной величины




X



{ displaystyle di splaystyle X}

называется величина




& # x03BC;

k


=

E


[
X
(
X
& # x2212; 1
)
.
.
.
(
X
& # x2212;
k
+ 1
)
]

,


{ displaystyle mu _ {k} = mathbb {E} left [X (X-1) ... (X-k + 1) right]}

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Замечания
Учитывая линейность математического ожидания центральные моменты можно выразить через начальные и авпакы. Например:





& # x03BC;

1


=
0
,



{ displaystyle displaystyle mu _ {1} = 0}






& # x03BC ;

2


=

& # x03BD;

2


& # x2212;

& # x03BD;

1


2


,



{ displaystyle displaystyle mu _ {2} = nu _ {2} - nu _ {1} ^ {2}}






& # x03BC;

3


=

& # x03BD;

3


& # x2212;
3

& # x03BD;

1



& # x03BD;

2


+
2

& # x03BD;

1


3


,



{ displaystyle displaystyle mu _ {3} = nu _ { 3} -3 nu _ {1} nu _ {2} 2 nu _ {1} ^ {3}}






& # x03BC;

4


=

& # x03BD;

4


& # x2212;
4

& # x03BD;

1



& # x03BD;

3


+
6

& # x03BD ;

1


2



& # x03BD;

2


& # x2212;
3

& # x03BD;

1


4


,



{ displaystyle displaystyle mu _ {4} = nu _ {4} -4 nu _ {1} nu _ {3} +6 nu _ {1} ^ {2 } nu _ {2} -3 nu _ {1} ^ {4}}

и т. д.
Геометрическая интерпретация некоторых моментов





& # x03BD;

1





{ displaystyle displaystyle nu _ {1}}

равна математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой .





& # x03BC;

2





{ displaystyle displaystyle mu _ {2}}

равна дисперсии распределения случайной величины




(

& # x03BC;

2


=

& # x03C3;

2


)



{ displays tyle displaystyle ( mu _ {2} = sigma ^ {2})}

и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.





& # x03BC;

3





{ displaystyle displaystyle mu _ {3}}

, будучи соответствующим образом нормализованный является числовой характеристикой симметрии распределения. Точнее, выражение




& # x03B3;

1


=



& # x03BC;

3



& # x03C3;

3






{ displaystyle gamma _ {1} = { frac { mu _ {3}} { sigma ^ {3}}}}

называется коэффициентом асимметрии.





& # x03BC;

4





{ displaystyle displaystyle mu _ {4}}

контролирует, насколько ярко выражена верхушка распределения в окрестности математического ожидания. Размер




& # x03B3;

2


=



& # x03BC;

4



& # x03C3;

4




& # x2212;
3


{ displaystyle gamma _ {2} = { frac { mu _ {4}} { sigma ^ {4}}} - 3}

называется коэффициентом эксцесса распределения в.в.




X
.



{ displaystyle displaystyle X.}

Вычисление моментов
Моменты можно вычислить непосредственно путем интегрирования соответствующей функия случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью




f
(
x
)
,



{ displaystyle displaystyle f (x)}

имеем:




& # x03BD;

k


=

& # x222B;

& # x2212;
& # x221E;


& # x221E;



x

k



f
(
x
)

d
x
,


{ displaystyle nu _ {k} = int limits _ {- infty} ^ { infty} x ^ {k} , f ( x) , dx}

если




& # x03BD;

k


=

& # x222B;

& # x2212;
& # x221E;


& # x221E;



|

x


|


k



f
(
x
)

d
x
& lt;

+
& # x221E;



{ displaystyle nu _ {k} = int limits _ {- infty} ^ { infty} | x | ^ {k} , f (x) , dx & lt; {+ infty}}

,
а для дискретных распределений с функцией вероятностей




p
(
x
)



{ displaystyle displaystyle p (x)}

:




& # x03BD;

k


=

& # x2211;

x



x

k



p
(
x
)
,


{ displaystyle nu _ {k} = sum limits _ {x} x ^ {k} , p (x)}

если




& # x03BD;

k


=

& # x2211;

x



|

x


|


k



p
(
x
)
& lt;

+
& # x221E;

.


{ displaystyle nu _ {k} = sum limits _ {x} | x | ^ {k} , p (x) & lt; {+ infty}.}

Также начальные моменты случайной величины можно вычислить используя ее характеристическую функцию




& # x03C6;
(
t
)



{ displaystyle displaystyle varphi (t)}

:




& # x03BD;

k


=



& # x2212;

i

k





d

k



d

t

k





& # x03C6;
(
t
)
|


t
=
0


.


{ displaystyle nu _ {k} = left.-i ^ {k} { frac {d ^ {k}} {dt ^ {k}}} varphi (t) right vert _ {t = 0}.}

если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов,





M

X


(
t
)
,



{ displaystyle displaystyle M_ {X} (t)}

, то по чала моменты можно вычислить используя следующую формулу:




& # x03BD;

k


=






d

k



d

t

k






M

X


(
t
)
|


t
=
0


.


{ displaystyle nu _ {k} = left. { frac {d ^ {k}} {dt ^ {k}}} M_ {X} (t) right vert _ { t = 0}.}

Можно также рассматривать моменты в.в. для значений



k


{ displaystyle k}

, не являются целыми числами. Такой момент, момент, что рассматривается как функция от Дисней аргумента



k


{ displaystyle k}

, называется преобразование Меллина.
Можно рассмотреть моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй - тензором второго порядка (см. Матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассмотреть и следует этой матрицы, дает скалярное обобщение дисперсии). Итд.
См. также
Математическое ожидание
дисперсия случайной величины
Источники
Сеньо П. С. (2004). Раздел 4.3. Теория вероятностей и математическая статистика (изд. 1-e). Киев: Центр учебной литературы. с. 448.
Сноски
↑ а б Ежов С.Н. (2001). Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: Учебное пособие. (Укр). М .: ИПЦ "Киевский университет". Архив оригинала 2007-02-24.
п
в
г
Статистика

Описательная статистика
Непрерывные данные
Смещение
Среднее
арифметическое
геометрическое
гармоничное
Медиана
Мода
дисперсия
размах
Стандартное отклонение
Коэффициент вариации
перцентили
Интерквартильний размах
Форма [en]
дисперсия
Асимметрия
Эксцесс
момент
L-момент [en]
Многочисленные данные [en]
Индекс дисперсии [en]
Итоговые таблицы
сгруппированы данные [en]
Частотный распределение [en]
Таблица сопряженности [en]
Зависимость
Коэффициент корреляции Пирсона
Корреляция ранга [en]
ро Спирмена
тау Кендалла
Частичная ко еляция [en]
Точечная диаграмма
Статистические графики
Столбиковая диаграмма [en]
Двойной график [en]
Коробочный график
Контрольная карта
коррелограмм
Веерная диаграмма [ en]
Лесная диаграмма [en]
Гистограмма
Секторная диаграмма [en]
График QQ
График бегущей последовательности [en]
Точечная диаграмма
диаграмма «ствол - листья»
Лепестковая диаграмма

Сбор данных [en]
Планирование исследования
Размер эффекта [en]
Стандартная погрешность [en]
Статистическая мощность [en]
Определение размеров выборки
Методология исследования [en]
Отбор выборки [en]
с тратификований [en]
кластерный [en]
Опрос
Анкетирование
Активные эксперименты
Планирование
оптимальное [en]
Рандомизированные [en]
Случайное назначения [en]
Репликация [en]
Группировка [en]
Полный факторный эксперимент
Пассивные исследования
Естественный эксперимент [en]
Квази-эксперимент [en]
наблюдательный исследования [en]

Статистическое вывода
Теория статистики [en]
Выборочный распределение
Порядковая статистика
сканирующий статистика [en]
Рекордное значение [en]
Достаточность
Полнота [en]
Экспоненциальное семейство [en]
Критерий перестановок [En]
Критерий рандомизации [en]
эмпирический распределение
Бутстреп
U-статистика [en]
Эффективность [en]
Асимптотика [en]
робастность
частотное вывода
Доверительный интервал
Проверка гипотез
Мощность [en]
Несмещенные оценки
Средняя несмещенная минимально-дисперсионная [en]
Медианная несмещенная
Смещённые оценки
Максимальная вероятность
Метод моментов
Минимальное расстояние [en]
Оценка плотности
Параметрические проверки [en]
отношения правдоподобия
Вальд
Множители Лагранжа [en]
Специальные критерии
Z (нормальный) [en]
t-критерий Стьюдента
F
Шапиро-Вилка [en]
Колмогорова-Смирнова
Степень согласия [en]
Хи-квадрат
G [en]
Источники выборки (Андерсона-Дарлинга) [en]
нормальности выборки (Шапиро-Вилка) [en]
нормальности асимметрии / эксцесса (Харке-Бера) [en]
Сравнение моделей (отношение правдоподобия)
Качество модели (критерий Акаике)
Знаковый рэнкинг
1-выборочный (Уилкоксона) [en]
2-выборочный (U Манна-Уитни)
1-боковой дисперсионный анализ (Краскела-Уоллиса) [en]
байесовский вывод
Баесова вероятность
априорное
апостериорная
Предполагаемый интервал
Коэффициент Байеса
Баесова оценка
Оценка апостериорного максимума

Корреляционный и регрессионный анализ
Корреляция
Коэффициент корреляции Пирсона
Частичная корреляция [en]
Смесительная переменная [en]
Коэффициент детерминации
Регрессионный анализ
Погрешности и остатки
Валидация регрессионной модели [en]
модели смешанных эффектов [en]
Система одновременных уравнений [en]
Сплайны многомерной адаптивной регрессии (MARS) [en]
линейная регрессия
Простая линейная регрессия [en]
Обычный метод наименьших квадратов [en]
Общая линейная модель
Баесова линейная регрессия
Нестандартные предикторы
Нелинейная регрессия [en]
Непараметрическая [en]
полупараметрической [en]
Изотоническая [en]
Робастные [en]
Гетероскедастичность
гомоскедастичность
Обобщенная линейная модель [en]
экспоненциального семейства [en]
Логистическая (Бернулли) / Биномиальная регрессия [en] / регрессия Пуассона [en]
Разделение дисперсии [en]
Дисперсионный анализ (ANOVA)
ковариационный анализ
многомерный дисперсионный анализ (MANOVA) [en]
Степени свободы [en]

Категорийный / многомерный анализ / анализ временных рядов / выживаемости [en]
Категорийный
Каппа Коэна [en]
Таблица сп ряжености [en]
Графическая модель
Логарифмическая модель [en]
Критерий МакНимара [en]
Многомерный
Многомерная регрессия
Главные компоненты
Анализ
Кластерный анализ
Классификация
копулы
Временные ряды
Общее
Декомпозиция [en]
Тренды [en]
Стационарность
Сезонное приспособления [en]
Экспоненциальное сглаживание
Коинтеграция [en]
Структурный разрыв [en]
Причинность по Грейнджер [en]
Специальные критерии
Дики-Фулера [en]
Йохансена [en]
Q-статистика (Льюнг -Бокс)
Дарбина-Уотсона
Бройша-Годфри [en]
Временная область
Ав токореляція (ACF)
Часткова автокореляція (PACF)[en]
Взаємна колеляція (XCF)[en]
Авторегресія рухливого середнього (ARMA)[en]
Метод Бокса–Дженкінса (ARIMA)[en]
Авторегресивна умовна гетероскедастичність (ARCH)
Векторна авторегресія (VAR)
Частотна область
Оцінка[en] спектральної густини
Аналіз Фур'є[en]
Вейвлет
Виживаність[en]
Функція виживаності[en]
Оцінка Каплана–Меєра (границі добутку)[en]
Логарифмічний ранговий критерій[en]
Інтенсивність відмов
Моделі пропорційних інтенсивностей відмов[en]
Модель прискореного часу до відмови[en]
 
При кладні галузі[en]
Біологічна статистика
Біоінформатика
Клінічні випробування / дослідження[en]
Епідеміологія
Медична статистика
Інженерна статистика[en]
Хемометрика
Інженерія методів[en]
Ймовірністне проектування[en]
Керування процесами[en] / якістю
Теорія надійності
Ідентифікація систем[en]
Соціальна статистика[en]
Актуарна математика
Перепис населення
Правова статистика
Демографічна статистика[en]
Економетрія
Національне рахівництво[en]
Офіційна статистика[en]
Психометрія
Просторова статистика[en]
Картогр афія
Статистика охорони довкілля[en]
Геоінформаційні системи
Геостатистика
Генеральна сукупність вимірів
Крігінг
Категорія
Портал[en]
Вступ[en]
Зміст
Індекс[en]


Момент (математика)

Випадкові Статті

Предводитель дворянства

Предводитель дворянства

Предводитель дворянства — впродовж 1766—1917 — обраний на губернських і повітових дворянсь...
Ханнес Хювенен

Ханнес Хювенен

Ханнес Хювенен фін Hannes Hyvönen; 29 серпня 1975, м Оулу, Фінляндія — фінський хокеїст, правий...
Віньоле-Борбера

Віньоле-Борбера

Віньоле-Борбера у Вікісховищі Віньоле-Борбера італ Vignole Borbera, п'єм Vigneule — мун...
Андрій Валентинов

Андрій Валентинов

Висловлювання у Вікіцитатах Андрі́й Валенти́нов, справжнє ім'я Андрі́й Валенти́нович Шмалько...