TR | RU | KK | BE | EN |

Метод моментів

метод моментів
Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.

Зміст

  • 1 Опис
  • 2 Зауваження
  • 3 Конзистентність методу
  • 4 Приклад
  • 5 Див. також
  • 6 Посилання

Опис

Коротко, метод моментів описується так: «Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат.»

Формально: нехай X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}  — вибірка з розподілу P θ {\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }} , що залежить від параметра θ ∈ Θ ⊂ R {\displaystyle \theta \in \Theta \subset \mathbb {R} } . Нехай маємо функцію g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } , таку що g ( X 1 ) {\displaystyle g(X_{1})} інтегрована відносно міри P θ {\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }} , і

E θ [ g ( X 1 ) ] = f ( θ ) {\displaystyle \mathbb {E} _{\theta }\left=f(\theta )} ,

где f : Θ → R {\displaystyle f:\Theta \to \mathbb {R} }  — бієкція. Тоді оцінка

θ ^ M M = f − 1 ( g ( X ) ¯ ) ≡ f − 1 ( 1 n ∑ i = 1 n g ( X i ) ) {\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MM} }=f^{-1}\left({\overline {g(X)}}\right)\equiv f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}g(X_{i})\right)}

називається оцінкою параметра θ ∈ Θ {\displaystyle \theta \in \Theta } методом моментів.

Зауваження

  • Оцінки знайдені методом моментів, як правило спроможні, але часто неефективні. Тому їх можна використовувати лише як перше наближення, базуючись на яких можна знаходити наступні наближення з меншою дисперсією.
  • За побудовою, g ( X ) ¯ = f ( θ ^ M M ) {\displaystyle {\overline {g(X)}}=f\left({\hat {\theta }}_{\mathrm {MM} }\right)} , тобто оцінка методом моментів отримується шляхом прирівнювання теоретичного середнього g ( X ) {\displaystyle g(X)} з вибірковим середнім.
  • В якості функції g {\displaystyle g} часто беруть степеневу функцію:
g ( x ) = x k , k ∈ N {\displaystyle g(x)=x^{k},\;k\in \mathbb {N} } .
  • Оцінка θ ^ M M {\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {MM} }} суттєво залежить від використаної функції g ( x ) {\displaystyle g(x)} . Якщо можливе використання кількох різних функцій g ( x ) {\displaystyle g(x)} , отримані з їх допомогою оцінки можуть відрізнятися.

Конзистентність методу

Якщо f ∈ C ( Θ ) {\displaystyle f\in C(\Theta )} , тобто функція f {\displaystyle f} неперервна, то оцінка методу моментів конзистентна.

Приклад

Нехай X 1 , … , X n ∼ Γ ( α , β ) {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \Gamma (\alpha ,\beta )}  — вибірка з гамма-розподілу з невідомими параметрами α {\displaystyle \alpha } і β {\displaystyle \beta } . Тоді

E [ X i ] = α β , E [ X i 2 ] = α ( α + 1 ) β 2 , i = 1 , … , n {\displaystyle \mathbb {E} =\alpha \beta ,\;\mathbb {E} \left=\alpha (\alpha +1)\beta ^{2},\quad i=1,\ldots ,n} .

Тоді оцінки методу моментів задовольняють систему рівнянь:

{ X ¯ = α ^ M M β ^ M M X 2 ¯ = α ^ M M ( α ^ M M + 1 ) ( β ^ M M ) 2 , {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\bar {X}}=&{\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }{\hat {\beta }}_{\mathrm {MM} }\\{\overline {X^{2}}}=&{\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }({\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }+1)\left({\hat {\beta }}_{\mathrm {MM} }\right)^{2},\end{matrix}}\right.}

звідки

α ^ M M = ( X ¯ ) 2 X 2 ¯ − ( X ¯ ) 2 {\displaystyle {\hat {\alpha }}_{\mathrm {MM} }={\frac {\left({\bar {X}}\right)^{2}}{{\overline {X^{2}}}-\left({\bar {X}}\right)^{2}}}} ,

і

β ^ M M = X 2 ¯ − ( X ¯ ) 2 X ¯ {\displaystyle {\hat {\beta }}_{\mathrm {MM} }={\frac {{\overline {X^{2}}}-\left({\bar {X}}\right)^{2}}{\bar {X}}}} .

Див. також

  • Метод максимальної вірогідності

Посилання

  1. Анісімов В.В.; Черняк О.І. (1995). Математична статистика (укр). Київ: МП "ЛЕСЯ". ISBN 5-7707-8786-4. 

метод моментів


Метод моментів Інформацію Про

Метод моментів


  • user icon

    Метод моментів beatiful post thanks!

    29.10.2014


Метод моментів
Метод моментів
Метод моментів Ви переглядаєте суб єкт.
Метод моментів що, Метод моментів хто, Метод моментів опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Випадкові Статті

Haskell

Haskell

Haskell (укр. Хаскель або Хаскелл) — стандартизована, винятково функціональна мова програмування з н...
Зізнання шопоголіка

Зізнання шопоголіка

Зізнання шопоголіка англ Confessions of a Shopaholic — американська кінокомедія 2009 року, що б...
The Long Road

The Long Road

«The Long Road» — четвертий студійний альбом канадського гурту «Nickelback» Випущений 23 вересня 200...
Бойовий потенціал

Бойовий потенціал

Бойови́й потенціа́л — узагальнена характеристика бойових можливостей (вогневих, ударних та мане...