TR | RU | KK | BE | EN |

Медіана (статистика)


Медіа́на (англ. median) — в статистиці це величина ознаки, що розташована по середині ранжованого ряду вибірки, тобто — це величина, що розташована в середині ряду величин, розташованих у зростаючому або спадному порядку; в теорії ймовірності — характеристика розподілення випадкової величини.

Медіана ділить ряд значень ознаки на дві рівні частини, по обидві частини від неї розміщується однакова кількість одиниць сукупності. Медіана є квантилем порядку 1/2. Позначається як x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} або x 1 / 2 {\displaystyle x_{1/2}\,} .

Зміст

  • 1 Визначення
  • 2 Історія
  • 3 Медіана варіаційного ряду
  • 4 Медіана як об'єктивний оцінювач
  • 5 Примітки
  • 6 Див. також
  • 7 Посилання

Визначення

Медіаною функції розподілу F {\displaystyle F} називається таке число x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} , що:

F ( x ~ ) = 1 / 2 {\displaystyle F({\tilde {x}})=1/2} ,

або:

P ( X < x ~ ) = P ( X > x ~ ) = 1 / 2 {\displaystyle P(X<{\tilde {x}})=P(X>{\tilde {x}})=1/2} ,

тобто, ймовірність того, що випадкова величина матиме значення більше або менше за медіану однакова і дорівнює 1/2.

Якщо функція розподілу строго монотонна, то медіана визначається однозначно, в протилежному випадку, розв'язком рівняння x ~ = F − 1 ( x ) {\displaystyle {\tilde {x}}=F^{-1}(x)} є відрізок [ x _ , x ¯ ] {\displaystyle } . З точки зору теорії ймовірностей, значення з цього відрізку можна не розглядати. Таким чином, неоднозначність цього рівняння неістотна. Аби уникнути пов'язаних з цієї неоднозначностей проблем, медіаною можна вважати найменший корінь рівняння: x ~ = x _ {\displaystyle {\tilde {x}}={\underline {x}}} .

З геометричної точки зору, вертикальна пряма x = x ~ {\displaystyle x={\tilde {x}}} , що проходить через точку з абсцисою x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} ділить площу фігури під кривою функції розподілу на дві рівні частини.

Історія

Поняття медіани походить з книги Едварда Райта про навігацію («Помилки в навігації» 1599 року), в розділі з приводу визначення розташування за допомогою компаса. Він зрозумів, що вірогідніше всього, це значення може бути правильним в серіях спостережень.

У 1757 році Роджер Джосеф Бошкович розвивав регресивний метод, заснований на нормі L1 і на медіані. У 1774 році Лаплас запропонував використати медіану як стандартний оцінювач значення пізнішого pdf. Специфічні критерії мали мінімізувати очікувану величину помилки; | α − α ∗ | {\displaystyle |\alpha -\alpha ^{*}|} , де α* — оцінка, і α — справжня цінність.

Критерій Лапласа був загалом знехтуваний протягом 150 років на користь найменшого методу квадратів Гауса і Легенгре, який мінімізує значення ( α − α ∗ ) 2 {\displaystyle (\alpha -\alpha ^{*})^{2}} , щоб отримати середину. Поширення як типового означення, так і типової медіани були визначені Лапласом на початку 1800 року. Антуан Августин Курно в 1843 році був першим, хто використав термін «медіана», як значення, яке ділить розподіл вірогідності на дві рівні частини.

Густав Теодор Фішнер використовував медіану (Centralwerth) в соціологічних і психологічних явищах.

Густав Фішнер популяризував медіану у формальному аналізі даних, хоча це вперше зробив Лаплас. Франциск Гальтон вжив англійський термін «медіана» в 1881 році, раніше використовуючи «середина найбільшого значення» (1869 рік) і як «середина» в 1880 році.

Медіана варіаційного ряду

Медіаною називають варіанту, що ділить варіаційний ряд на дві частини з рівною кількістю варіант. Якщо кількість варіант непарна ( n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1} ), то x ~ = x k + 1 {\displaystyle {\tilde {x}}=x_{k+1}} , у випадку парної кількості варіант ( n = 2 k {\displaystyle n=2k} ), медіана дорівнює:

x ~ = ( x k + x k + 1 ) 2 {\displaystyle {\tilde {x}}={\frac {(x_{k}+x_{k+1})}{2}}} .

Наприклад, для ряду 2 3 5 6 7 медіана дорівнює 5; для ряду 2 3 5 6 7 9 медіана дорівнює (5 + 6)/2 = 5.5.

Медіана як об'єктивний оцінювач

Гаус зауважив, що будь-який об'єктивний оцінювач мінімізує ризик (очікувану втрату) відносно функції помилкової втрати. На думку Лапласа, медіана, як об'єктивний оцінювач мінімізує ризик відносно функції втрати абсолютного відхилення. Інші функції втрати застосовують в статистичній теорії, особливо при перевірці статистичної надійності. Теорію об'єктивного оцінювача, започаткував Джордж Браун в 1947 році.

Оцінка одного розмірного параметра θ, буде об'єктивним оцінювачем для медіани, якщо, для сталої θ, медіана поширення оцінки знаходиться в значенні θ , тобто, відхилення трапляються не так часто.

Подальші властивості медіани, як об'єктивного оцінювача були досліджені. Зокрема, медіана, як об'єктивний оцінювач існує у випадках, де не можливо максимуму вірогідності. Медіани, як об'єктивні оцінювачі інваріантні під один-до-одного, перетвореннями.

Примітки

  1. а б Социологический энциклопедический словарь / Ред.-координатор Г. В. Осипов.-М., 1998
  2. ↑ Медіана — Розум.org.ua
  3. а б Козлов М. В., Прохоров А. В. (1987). Введение в математическую статистику. Изд-во МГУ. 
  4. а б Кремер Н. Ш. (2004). Теория вероятностей и математическая статистика. Юнити. ISBN 5-238-00573-3. 
  5. ↑ Stigler, S. M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900. Harvard University Press. ISBN 0674403401.
  6. ↑ Jaynes, E.T. (2007). Probability theory: the logic of science (5. print. ed.). Cambridge : Cambridge Univ. Press. p. 172. ISBN 978-0-521-59271-0.
  7. ↑ Laplace PS de (1818) Deuxième supplément à la Théorie Analytique des Probabilités, Paris, Courcier.
  8. а б Keynes, J.M. (1921) A Treatise on Probability. Pt II Ch XVII § 5 (p 201) (2006 reprint, Cosimo Classics, ISBN 9781596055308 : multiple other reprints).
  9. ↑ Galton F (1881) «Report of the Anthropometric Committee» pp 245–260. Report of the 51st Meeting of the British Association for the Advancement of Science.
  10. ↑ Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа. 
  11. ↑ Brown, George W. (1947). «On Small-Sample Estimation». Annals of Mathematical Statistics 18 (4): 582–585. doi:10.1214/aoms/1177730349. JSTOR 2236236.
  12. ↑ Lehmann, Erich L. (1951). «A General Concept of Unbiasedness». Annals of Mathematical Statistics 22 (4): 587–592. doi:10.1214/aoms/1177729549.JSTOR 2236928.
  13. ↑ Birnbaum, Allan (1961). «A Unified Theory of Estimation, I». Annals of Mathematical Statistics 32 (1): 112–135. doi:10.1214/aoms/1177705145. JSTOR 2237612.
  14. ↑ van der Vaart, H. Robert (1961). «Some Extensions of the Idea of Bias». Annals of Mathematical Statistics 32 (2): 436–447. doi:10.1214/aoms/1177705051.JSTOR 2237754. MR 125674.
  15. ↑ Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994). Parametric Statistical Theory. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. MR 1291393.

Див. також

Портал «Математика»
  • Квантиль

Посилання

  • Statistical Median. на MathWorld(англ.)


Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.



Медіана (статистика) Інформацію Про

Медіана (статистика)


  • user icon

    Медіана (статистика) beatiful post thanks!

    29.10.2014


Медіана (статистика)
Медіана (статистика)
Медіана (статистика) Ви переглядаєте суб єкт.
Медіана (статистика) що, Медіана (статистика) хто, Медіана (статистика) опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Випадкові Статті

Haskell

Haskell

Haskell (укр. Хаскель або Хаскелл) — стандартизована, винятково функціональна мова програмування з н...
Зізнання шопоголіка

Зізнання шопоголіка

Зізнання шопоголіка англ Confessions of a Shopaholic — американська кінокомедія 2009 року, що б...
The Long Road

The Long Road

«The Long Road» — четвертий студійний альбом канадського гурту «Nickelback» Випущений 23 вересня 200...
Бойовий потенціал

Бойовий потенціал

Бойови́й потенціа́л — узагальнена характеристика бойових можливостей (вогневих, ударних та мане...