TR | RU | KK | BE | EN |

Дисперсія випадкової величини

дисперсія випадкової величини маси, дисперсія випадкової величини и
Диспе́рсія (англ. Variance) є мірою відхилення значень випадкової величини від центру розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

Зміст

  • 1 Вступ
    • 1.1 Приклади
  • 2 Означення
    • 2.1 Твердження
  • 3 Теореми
  • 4 Властивості
  • 5 Джерела інформації
  • 6 Див. також

Вступ

Приклади

Дисперсія випадкової величини є одним з параметрів розподілу ймовірностей —це середньоквадратичне відхилення від середнього значення. Інакше кажучи, це математичне сподівання піднесеного до другого степеня відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, якщо підкинути ідеальний гральний кубик, то очікування значення буде:

1 6 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3.5. {\displaystyle {\frac {1}{6}}(1+2+3+4+5+6)=3.5.}

Очікуване абсолютне відхилення таке:

1 6 ( | 1 − 3.5 | + | 2 − 3.5 | + | 3 − 3.5 | + | 4 − 3.5 | + | 5 − 3.5 | + | 6 − 3.5 | ) = 1 6 ( 2.5 + 1.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 2.5 ) = 1.5. {\displaystyle {\frac {1}{6}}(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)={\frac {1}{6}}(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.}

Але очікуване квадратичне відхилення таке:

1 6 ( 2.5 2 + 1.5 2 + 0.5 2 + 0.5 2 + 1.5 2 + 2.5 2 ) = 17.5 / 6 ≈ 2.9. {\displaystyle {\frac {1}{6}}(2.5^{2}+1.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+1.5^{2}+2.5^{2})=17.5/6\approx 2.9.}

Якщо монету підкинути двічі, кількість аверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже, очікування кількості аверсів таке:

0.25 × 0 + 0.5 × 1 + 0.25 × 2 = 1 , {\displaystyle 0.25\times 0+0.5\times 1+0.25\times 2=1,}

і дисперсія така:

0.25 × ( 0 − 1 ) 2 + 0.5 × ( 1 − 1 ) 2 + 0.25 × ( 2 − 1 ) 2 = 0.25 + 0 + 0.25 = 0.5. {\displaystyle 0.25\times (0-1)^{2}+0.5\times (1-1)^{2}+0.25\times (2-1)^{2}=0.25+0+0.25=0.5.}

Означення

Дисперсією випадкової величини X {\displaystyle X} називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку.

Нехай випадкова змінна X {\displaystyle X} може набувати значення x 1 , x 2 , … , {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,} відповідно з ймовірностями p ( x 1 ) , p ( x 2 ) , … , {\displaystyle p(x_{1}),p(x_{2}),\ldots ,} причому ∑ x p ( x ) = 1 {\displaystyle \sum _{x}p(x)=1\,} .

  • Дисперсія дискретної випадкової величини X {\displaystyle X} має такий вигляд:
σ 2 ≡ D ⁡ ( X ) = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] = ∑ x ( x − μ ) 2 p ( x ) {\displaystyle \sigma ^{2}\equiv \operatorname {D} (X)=\operatorname {E} =\sum _{x}(x-\mu )^{2}p(x)} ,

де

σ = σ 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}\,} і називається стандартним відхиленням величини X {\displaystyle X} від її середнього значення μ {\displaystyle \mu \,} ; D {\displaystyle \operatorname {D} }  — це оператор дисперсії випадкової величини.
  • Якщо випадкова величина ξ = x {\displaystyle {\xi =x\,}} задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:
σ 2 ≡ D ⁡ ( ξ ) = E ⁡ [ ( ξ − μ ) 2 ] = ∫ X ( x − μ ) 2 p ξ ( x ) d x {\displaystyle \sigma ^{2}\equiv \operatorname {D} (\xi )=\operatorname {E} =\int _{X}(x-\mu )^{2}p_{\xi }(x)dx} ,

де

μ ≡ E ⁡ ( ξ ) = ∫ X x p ξ ( x ) d x {\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} (\xi )=\int _{X}xp_{\xi }(x)dx} , тобто це середнє значення величини ξ {\displaystyle \xi \,} ; p ξ ( x ) {\displaystyle p_{\xi }(x)\,}  — функція густини імовірності.

Твердження

  • Якщо є дискретна випадкова величина X {\displaystyle X} , сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто ∑ x p ( x ) < 1 {\displaystyle \sum _{x}p(x)<1\,} , то дисперсія такої величини визначається так:
σ 2 = D ⁡ ( X ) = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] = ∑ x ( x − μ ) 2 p ( x ) ∑ x p ( x ) {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {D} (X)=\operatorname {E} ={\frac {\sum _{x}(x-\mu )^{2}p(x)}{\sum _{x}p(x)}}} .

Теореми

  • Дисперсія являє собою різницю математичного очікування E ⁡ ( X 2 ) {\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})} квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення μ {\displaystyle \mu \,} цієї величини:
σ 2 = E ⁡ ( X 2 ) − μ 2 = ∑ x x 2 p ( x ) − μ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}=\sum _{x}x^{2}\,p(x)-\mu ^{2}} .
  • Теорема Чебишова: Ймовірність будь-якої випадкової величини X {\displaystyle X\,} , яка набуває значення в границях k {\displaystyle k\,} стандартних відхилень від середнього значення μ {\displaystyle \mu \,} , не менше 1 − 1 k 2 {\displaystyle 1-{\frac {1}{k^{2}}}} , тобто
P ( μ − k σ < X < μ + k σ ) ≥ 1 − 1 k 2 {\displaystyle P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq \,1-{\frac {1}{k^{2}}}} .
  • Закон додавання дисперсій: Дисперсія σ Y 2 {\displaystyle \sigma _{Y}^{2}} суми Y = X 1 + X 2 + ⋯ + X N {\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}+\dots +X_{N}} дискретних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі S ( K ) {\displaystyle \operatorname {S} _{(K)}} значень коваріаційної матриці системи цих величин:
σ Y 2 ≡ D ⁡ ( Y ) = S ( K ) = ∑ i = 1 N D ⁡ ( X i ) + 2 ∑ i = 1 N − 1 ∑ j = i + 1 N Cov ⁡ ( X i , X j ) . {\displaystyle \sigma _{Y}^{2}\equiv \operatorname {D} (Y)=\operatorname {S} _{(K)}=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {D} (X_{i})+2\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).}

Властивості

  • Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто D ⁡ ( c ) = 0 {\displaystyle \operatorname {D} (c)=0} , де c = c o n s t {\displaystyle c=const\,} .
  • Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії: D ⁡ ( X + c ) = D ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {D} (X+c)=\operatorname {D} (X)} .
  • Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії: D ⁡ ( c X ) = c 2 D ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {D} (c\,X)=c^{2}\operatorname {D} (X)} .
  • Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто D ⁡ ( X ) ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {D} (X)\geq \,0} .

Джерела інформації

  1. ↑ Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. (1965). Курс теории вероятности и математической статистики. Москва: Наука. 
  2. а б T. T. Soong (2004). Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers. Wiley. ISBN 0-470-86813-9. 
  3. ↑ Пряха Б. Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.
  4. ↑ Walpole Roland E., Myers Raymond H. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. — 3-th. edition, Macmillan Publishing Company. — New York, 1985. — 639 p. — ISBN 0-02-424170-9.
  5. ↑ Пряха Б. Про зв'язок дисперсій та коваріацій // Геодезія, картографія і аерофотознімання. — Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка». — 2009. — Вип. 71. — С. 262–271.

Див. також

Портал «Математика»
  • Дисперсійний аналіз
  • Моменти випадкової величини
  • Коефіцієнт кореляції
  • Квартет Анскомбе
  • Генеральні дисперсії
  • Вибіркові дисперсії
  • Нерівність Чебишова
    • Вимірювання
  • Підсумовування сукупностей вимірів
  • Перемножування сукупностей вимірів
Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.


дисперсія випадкової величини и, дисперсія випадкової величини маси


Дисперсія випадкової величини Інформацію Про

Дисперсія випадкової величини


  • user icon

    Дисперсія випадкової величини beatiful post thanks!

    29.10.2014


Дисперсія випадкової величини
Дисперсія випадкової величини
Дисперсія випадкової величини Ви переглядаєте суб єкт.
Дисперсія випадкової величини що, Дисперсія випадкової величини хто, Дисперсія випадкової величини опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Випадкові Статті

Літера

Літера

Літера, іноді буква (від лат. litera) — графічний знак, який сам, або в поєднанні з іншими знак...
Гриневич

Гриневич

Грине́вич — прізвище Відомі носії: Гриневич Валерій Іванович — полковник Збройних сил Укр...
Верхівцевський навчально-виховний комплекс

Верхівцевський навчально-виховний комплекс

КЗ «Верхівцевський НВК» — загальноосвітня школа в місті Верхівцеве Зміст 1 Історія 11 Приміщен...
Ніл Тейлор

Ніл Тейлор

* Ігри та голи за професіональні клуби враховуються лише в національному чемпіонаті. Інформацію поно...