TR | RU | KK | BE | EN |

Вейвлет

вейвлет анализ, вейвлет преобразование
Вейвлет-перетворення (wavelet, вейвлет, хвильки, хвилькові перетворення). Усі вейвлет-перетворення розглядають функцію (взяту як функцією від часу) у термінах коливань, локалізованих за часом (простором) і частотою. Локальність у просторі означає, що енергія хвильок (вейвлетів) сконцентрована на скінченному інтервалі, так звана функція на компактному носії. Частотна локалізація означає, що перетворення Фур'є хвилькі локалізоване. Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).

Зміст

  • 1 Застосування вейвлет-перетворень
  • 2 Історія
    • 2.1 Хвильки Добеші
  • 3 Зв'язки теорії вейвлетів
  • 4 Література
  • 5 Посилання

Застосування вейвлет-перетворень

Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сигналів, у той час як CWT для аналізу сиґналів. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в наш час взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є у багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох областях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантовій механіці, геофізиці, оптиці, механіці рідини та у багатьох інших областях, включаючи обробку зображень, аналізу кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сиґналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку і мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть O(N) операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за O(NlogN).

Історія

До розроблення вейвлетів призвели декілька незалежних шляхів міркувань, що почалися з робіт Хаара, який на початку двадцятого століття поставив запитання: «Чи існує інша ортонормальна система h 0 ( x ) , h 1 ( x ) , . . . , h n ( x ) , . . . {\displaystyle h_{0}(x),h_{1}(x),...,h_{n}(x),...} функцій, визначених на проміжку , таких, що довільну функцію f ( x ) ∈ C [ 0 , 1 ] {\displaystyle f(x)\in C} можна розвинути у суму вигляду < f , h 0 > h 0 ( x ) + . . . + < f , h n > h n ( x ) + . . . {\displaystyle <f,h_{0}>h_{0}(x)+...+<f,h_{n}>h_{n}(x)+...} , і що вона буде збіжною до f ( x ) {\displaystyle f(x)} єдиним чином на ?» Як виявилося таких систем можна побудувати нескінченну кількість. У 1909 році Хаар запропонував найпростіший розв'язок і тим самим відкрив шлях, що веде до вейвлет (wavelet). Ортонормальна система Хаара будується починаючи з базисної функції h ( x ) = 1 {\displaystyle h(x)=1} на [0,1/2) та −1 на [1/2,1), і 0 всюди крім [0, 1). Для n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} запишемо n = 2 j + k , j ≥ 0 , 0 ≤ k < 2 j {\displaystyle n=2^{j}+k,j\geq 0,0\leq k<2^{j}} , і визначимо h n ( x ) = 2 j / 2 h ( 2 j − k ) {\displaystyle h_{n}(x)=2^{j/2}h(2^{j}-k)} . Носієм h n ( x ) {\displaystyle h_{n}(x)} буде інтервал I n = [ k 2 − j , ( k + 1 ) 2 − j ] {\displaystyle I_{n}=} , що входить до [0, 1), коли 0 ≤ k ≤ 2 j {\displaystyle 0\leq k\leq 2^{j}} . Для завершення довизначимо h 0 ( x ) = 1 {\displaystyle h_{0}(x)=1} на [0, 1). Тепер побудований ряд h 0 ( x ) , h 1 ( x ) , . . . , h n ( x ) , . . . {\displaystyle h_{0}(x),h_{1}(x),...,h_{n}(x),...} це ортонормальний базис (іноді кажуть Гільбертів базис) в L 2 [ 0 , 1 ] {\displaystyle L_{2}} . Апроксимація функції f ( x ) {\displaystyle f(x)} послідовністю S n ( f ) ( x ) =< f , h 0 > h 0 ( x ) + . . . + < f , h n > h n ( x ) {\displaystyle S_{n}(f)(x)=<f,h_{0}>h_{0}(x)+...+<f,h_{n}>h_{n}(x)}  — це класична апроксимація неперервної функції.

Система функцій Хаара

Можна виділити дві основні операції над вихідною функцією: трансляція (зсув) та диляція (стискання, масштабування). 1) W ( 2 x ) → W ( 2 x − 1 ) {\displaystyle W(2x)\rightarrow W(2x-1)} 2) W ( x ) → W ( 2 x ) {\displaystyle W(x)\rightarrow W(2x)} . На шляху до сучасних побудов теорії хвильок варто відзначити роботи радянського математика Лузіна (30-ті роки), які були продовжені Гвідо Вейссом (Guido Weiss) та Роналдом Куафманом (Ronald R. Coifman) у 60-ті — 80-ті. Їхній підхід використовувався для обробки сиґналів, і оснований на атомарних функціях. Сьогодні цей напрям розвивають учні В. Л. Рвачева (Харків). Вагомий внесок у теорію вейвлетів зробили Гроссманн і Морле, які вперше вжили слово вейвлет і сформулювали те, що зараз відоме як CWT (1982). Вчені визначили вейвлет як набір функцій, породжених однією «материнською» функцією ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} . ψ ( a , b ) ( x ) = a − n 2 ψ ( x − b a ) , a > 0 , b ∈ R n {\displaystyle \psi _{(a,b)}(x)=a^{-{\frac {n}{2}}}\psi ({\frac {x-b}{a}}),a>0,b\in R^{n}} . Для функції f ( x ) {\displaystyle f(x)} ці хвилькі ψ ( a , b ) {\displaystyle \psi _{(a,b)}} відіграють роль ортонормованого базису, хвилькові коефіцієнти визначаються як W ( a , b ) =< f , ψ ( a , b ) ) > {\displaystyle W(a,b)=<f,\psi _{(a,b))}>} . Гроссманн та Морле дали наступне визначення: вейвлет це функція ψ ∈ L 2 ( R n ) {\displaystyle \psi \in L_{2}(R^{n})} , претворення Фур'є якої ψ ¯ ( x ) {\displaystyle {\bar {\psi }}(x)} задовольняє умові ∫ 0 ∞ | ψ ¯ ( t ρ ) | 2 d t t = 1 , ρ ∈ R n {\displaystyle \int _{0}^{\infty }|{\bar {\psi }}(t\rho )|^{2}{\frac {dt}{t}}=1,\rho \in R^{n}} майже всюди. Означення дискретних вейвлетів належить Штрьомберґу (Stromberg) та Мейєру (Y. Meyer) (1983). За ними вейвлет — це функція ψ ∈ L 2 ( R n ) {\displaystyle \psi \in L_{2}(R^{n})} , така, що 2 j 2 ψ ( 2 j x − k ) , j , k ∈ Z {\displaystyle 2^{\frac {j}{2}}\psi (2^{j}x-k),j,k\in Z} утворює ортонормальний базис в L 2 {\displaystyle L_{2}} .

Сучасний етап розвитку вейвлетів починається у 1985 з роботи С. Маллата (Stephane Mallat), спеціаліста з обробки зображень, в якій узагальнювалися вже існуючі теоретичні розробки: а) квадратурний дзеркальний фільтр (quadrature mirror filter) для цифрової телефонії; б) пірамідальний алгоритм Бурта-Аделсона (Burt Adelson), який використовувався для обробки зображень та в) ортонормальний вейвлет базис Штрьомберґа та Мейера. Маллат створив багаторозкладний аналіз (multiresolution analysis), який відкривав шлях до побудови теорії вейвлетів.

Найголовніший крок належить Добеші (Ingrid Daubechies). У 1988 році вийшла її стаття, де вперше розглядається сімейство ортонормованих систем в L 2 {\displaystyle L_{2}} з важливими особливостями:

  1. кожна система породжується масштабною функцією ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} за допомогою трансляції та диляції;
  2. кожен елемент даної системи має компактний носій і неперервний, або може бути вибраний досить гладкий (до певного порядку) шляхом зміни масштабу. Носії базисних функцій стають тим менші чим більший індекс j;
  3. існують швидкі алгоритми для обчислень коефіцієнтів розкладу певної функції. Називається — дискретне вейвлет-перетворення від функції до вейвлет коефіцієнтів розкладу. Цей алгоритм має складність порядку O(N);
  4. Класичне дискретне перетворення Фур'є та косинус перетворення з'являються як частинний випадок дискретного вейвлет-перетворення (DWT)
  5. дискретне вейвлет-перетворення може бути розпаралелене.

Хвильки Добеші

Масштабна функція і відповідна хвилькова функція задовольняють

  1. масштабному рівнянню (scaling equation) ϕ ( x ) := ∑ k = 0 2 g − 1 a k ϕ ( 2 x − k ) {\displaystyle \phi (x):=\sum _{k=0}^{2g-1}a_{k}\phi (2x-k)} ;
  2. відповідному хвильковому рівнянню (wavelet equation) ψ ( x ) := ∑ k = 0 2 g − 1 b k ϕ ( 2 x − k ) {\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=0}^{2g-1}b_{k}\phi (2x-k)} ,

де коефіцієнти масштабного рівняння a k {\displaystyle a_{k}} повинні задовольняти лінійній та квадратичній умовам ∑ a k = 2 , ∑ a k a k + 2 l = 2 δ ( l , 0 ) {\displaystyle \sum a_{k}=2,\sum a_{k}a_{k+2l}=2\delta (l,0)} , і де b k := ( − 1 ) k + 1 a 2 g − 1 − k {\displaystyle b_{k}:=(-1)^{k+1}a_{2g-1-k}} . Функції ϕ {\displaystyle \phi } та ψ {\displaystyle \psi } задані на інтервалі і утворюють трансляцією та диляцією вейвлет систему. Однією з властивостей технонології хвильок (вейвлет) є можливість вибрати систему коефіцієнтів, найбільш адаптовану до даної проблеми. Добеші у своїй роботі визначила сімейство хвилькових (вейвлет) систем, які мають максимальну кількість зникаючих моментів ∫ x l ψ ( x ) d x = 0 , l = 0 , . . . , g − 1 {\displaystyle \int x^{l}\psi (x)dx=0,l=0,...,g-1} . Так коли g = 2 {\displaystyle g=2} можна явно знайти коефіцієнти { a n } n = o , 3 ¯ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n={\bar {o,3}}}} : { 1 + 3 4 , 3 + 3 4 , 3 − 3 4 , 1 − 3 4 } {\displaystyle \{{\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}},{\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}},{\frac {3-{\sqrt {3}}}{4}},{\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\}} . Задавати вейвлет систему можна різним чином. Поширення набуло таке задання ϕ k ( x ) := ϕ ( x − k ) {\displaystyle \phi _{k}(x):=\phi (x-k)} , ψ j k ( x ) := 2 j 2 ψ ( 2 j x − k ) , j ≥ 0 {\displaystyle \psi _{jk}(x):=2^{\frac {j}{2}}\psi (2^{j}x-k),j\geq 0} . (Зазвичай система об'єднана з масштабними коефіцієнтами.) Вейвлет розвинення: f ( x ) = ∑ k f k ϕ k ( x ) + ∑ j , k f j k ψ j k ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k}f_{k}\phi _{k}(x)+\sum _{j,k}f_{jk}\psi _{jk}(x)} , де f k = ∫ f ( x ) ϕ k ( x ) d x {\displaystyle f_{k}=\int f(x)\phi _{k}(x)dx} , f j k = ∫ f ( x ) ψ j k ( x ) d x {\displaystyle f_{jk}=\int f(x)\psi _{jk}(x)dx} .

Серед наступних робіт, які розвивали ідею вейвлетів Добеші виділяються праці Натали Делпрат, яка надала часово-частотну інтерпретацію CWT (1991), Ньюланд, який розробив гармонійне вейвлет-перетворення та багато інших.

Зв'язки теорії вейвлетів

Теорія вейвлетів зв'язана з декількома іншими напрямами. Усі вейвлет-перетворення можуть розглядатися як різновид часово-частотного представлення і, отже відноситься до предмета гармонійного аналізу. Дискретне вейвлет-перетворення може розглядатися як різновид фільтра скінченної імпульсної відповіді. Вейвлети, що утворюють CWT підкоряються принципу невизначеності Гейзенберга і відповідно базис дискретного вейвлета також може розглядатися в контексті інших форм принципу невизначеності.

скейлінг-функції ϕ {\displaystyle \phi } і вейвлет ψ {\displaystyle \psi }
амплітуда частотного спектру

Література

  • Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. — М. : Техносфера, 2006. — 280 с.
  • Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск : РХД, 2001. — 464 с.
  • Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М. : Мир, 2005. — 672 с.
  • Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск : РХД, 2010. — 292 с.
  • Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М. : Мир, 2001. — 412 с.

Посилання

  • Wavelet Digest
  • The Wavelet Tutorial by Polikar
  • Роби Поликар Введение в Вейвлет-преообразование — 59 с. — Для тих, хто добре зрозумів ДПФ
  • J. Lewalle — Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования — 29 с. — Для тих, хто добре зрозумів роботу Робі Поликара «Введение в Вейвлет-преообразование»


вейвлет, вейвлет анализ, вейвлет преобразование


Вейвлет Інформацію Про

Вейвлет


  • user icon

    Вейвлет beatiful post thanks!

    29.10.2014


Вейвлет
Вейвлет
Вейвлет Ви переглядаєте суб єкт.
Вейвлет що, Вейвлет хто, Вейвлет опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Випадкові Статті

Кошелівська сільська рада (Хустський район)

Кошелівська сільська рада (Хустський район)

Сільській раді підпорядковані населені пункти: с. Кошельово с. Залом Зміст 1 Населені пункти...
Зертаський сільський округ

Зертаський сільський округ

Зерта́ський сільський округ каз Зертас ауылдық округі, рос Зертасский сельский округ — адм...
Метрика Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера

Метрика Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера

Метрика Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера - метрика простору-часу, яка описує однорідний ізотропний...
Копалнік-Менештур

Копалнік-Менештур

Копалнік-Менештур (рум. Copalnic-Mănăștur) — село у повіті Марамуреш в Румунії. Адміністративни...