TR | RU | KK | BE | EN |

Апостеріорна ймовірність


В баєсовій статистиці апостеріо́рна ймові́рність (англ. posterior probability) випадкової події або сумнівного твердження — це умовна ймовірність, яка присвоюється після врахування відповідного свідчення або вихідних даних. Так само апостеріо́рний розпо́діл імові́рності (англ. posterior probability distribution) — це розподіл невідомої величини, що розглядається як випадкова змінна, обумовлений свідченням, отриманим з експерименту або спостереження. «Апостеріорний» в даному контекст означає — після врахування відповідного свідчення, пов'язаного з певним досліджуваним випадком.

Зміст

  • 1 Визначення
  • 2 Приклад
  • 3 Обчислення
  • 4 Класифікація
  • 5 Див. також
  • 6 Примітки
  • 7 Література

Визначення

Апостеріорна ймовірність є ймовірністю параметрів θ {\displaystyle \theta } за заданого свідчення X {\displaystyle X} : p ( θ | X ) {\displaystyle p(\theta |X)} .

Вона протиставиться до функції правдоподібності, яка є ймовірністю цього свідчення за заданих параметрів: p ( X | θ ) {\displaystyle p(X|\theta )} .

Вони пов'язані наступним чином:

Нехай у нас є апріорне переконання, що функція розподілу ймовірності це p ( θ ) {\displaystyle p(\theta )} , і спостереження X {\displaystyle X} з правдоподібністю p ( X | θ ) {\displaystyle p(X|\theta )} , тоді апостеріорна ймовірність визначається як

p ( θ | X ) = p ( θ ) p ( X | θ ) p ( X ) . {\displaystyle p(\theta |X)={\frac {p(\theta )p(X|\theta )}{p(X)}}.}

Апостеріорну ймовірність може бути записано в такому зручному для запам'ятовування вигляді:

Posterior probability ∝ Prior probability × Likelihood {\displaystyle {\text{Posterior probability}}\propto {\text{Prior probability}}\times {\text{Likelihood}}} .

Приклад

Нехай у школі 60% учнів — хлопці, і 40% — дівчата. Дівчата носять штани та спідниці в рівній кількості, хлопці всі носять штани. Спостерігач здалеку бачить учня (випадкового); все, що може бачити спостерігач, — це те, що учень в штанях. Яка ймовірність того, що цей учень — дівчина? Правильну відповідь може бути обчислено за допомогою теореми Баєса.

Подією G {\displaystyle G} є те, що учень, якого бачить спостерігач, є дівчиною, а подією T {\displaystyle T} є те учень, що цей учень носить штани. Для обчислення апостеріорної ймовірності P ( G | T ) {\displaystyle P(G|T)} , нам спочатку необхідно дізнатися:

  • P ( G ) {\displaystyle P(G)} , або ймовірність того, що цей учень є дівчиною незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки спостерігач бачить випадкового учня, тобто всі учні мають однакову ймовірність бути побаченими, а частка дівчат серед них становить 40%, то ця ймовірність дорівнює 0.4.
  • P ( B ) {\displaystyle P(B)} , або ймовірність того, що цей учень не є дівчиною (тобто, хлопчик), незалежно від будь-якої іншої інформації ( B {\displaystyle B} є доповнювальною подією до G {\displaystyle G} ). Це є 60%, або 0.6.
  • P ( T | G ) {\displaystyle P(T|G)} , або ймовірність того, що учень носить штани, якщо він є дівчиною. Оскільки вони однаково часто носять штани та спідниці, то це 0.5.
  • P ( T | B ) {\displaystyle P(T|B)} , або ймовірність то, що учень носить штани, якщо він є хлопцем. Це задано як 1.
  • P ( T ) {\displaystyle P(T)} , або ймовірність того, що (випадково вибраний) учень носить штани незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки P ( T ) = P ( T | G ) P ( G ) + P ( T | B ) P ( B ) {\displaystyle P(T)=P(T|G)P(G)+P(T|B)P(B)} (згідно закону повної ймовірності), це становить P ( T ) = 0.5 × 0.4 + 1 × 0.6 = 0.8 {\displaystyle P(T)=0.5\times 0.4+1\times 0.6=0.8} .

Враховуючи всю цю інформацію, ймовірність того, що спостерігач бачить дівчину, за умови що учень, якого бачить спостерігач, носить штани, може бути обчислено підставленням цих значень до формули

P ( G | T ) = P ( T | G ) P ( G ) P ( T ) = 0.5 × 0.4 0.8 = 0.25. {\displaystyle P(G|T)={\frac {P(T|G)P(G)}{P(T)}}={\frac {0.5\times 0.4}{0.8}}=0.25.}

Обчислення

Апостеріорний розподіл імовірності однієї випадкової змінної при заданому значенні іншої може бути обчислено за теоремою Баєса шляхом множення апріорного розподілу ймовірності на функцію правдоподібності, а потім діленням на нормувальну сталу, а саме:

f X ∣ Y = y ( x ) = f X ( x ) L X ∣ Y = y ( x ) ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) L X ∣ Y = y ( x ) d x {\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)={f_{X}(x)L_{X\mid Y=y}(x) \over {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)L_{X\mid Y=y}(x)\,dx}}}

дає апостеріорну функцію густини ймовірності випадкової змінної X {\displaystyle X} з урахуванням даних Y = y {\displaystyle Y=y} , де

  • f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} є апріорною густиною X {\displaystyle X} ;
  • L X ∣ Y = y ( x ) = f Y ∣ X = x ( y ) {\displaystyle L_{X\mid Y=y}(x)=f_{Y\mid X=x}(y)} є функцією правдоподібності як функція від x {\displaystyle x} ;
  • ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) L X ∣ Y = y ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)L_{X\mid Y=y}(x)\,dx} є нормувальною сталою, та
  • f X ∣ Y = y ( x ) {\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)} є апостеріорною густиною X {\displaystyle X} з урахуванням даних Y = y {\displaystyle Y=y} .

Класифікація

У класифікації апостеріорна ймовірність відображає невизначеність віднесення спостереження до певного класу, див. також ймовірності приналежності до класів. Хоча методи статистичної класифікації за визначенням і породжують апостеріорні ймовірності, фахівці з машинного навчання зазвичай подають значення приналежності, що не передбачають жодної ймовірнісної довірчості. Бажано перетворювати або перемасштабовувати значення приналежності у ймовірності приналежності до класів, оскільки вони є порівнюваними й на додачу легше застосовними для подальшої обробки.

Див. також

  • Передбачуваний інтервал
  • Теорема Бернштайна — фон Мізеса
  • Зачада Монті Голла
  • Задача трьох в'язнів
  • Парадокс скриньок Бертрана

Примітки

  1. ↑ Christopher M. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. с. 21–24. ISBN 978-0-387-31073-2.  (англ.)

Література

  • Peter M. Lee (2004). Bayesian Statistics, an introduction (вид. 3rd). Wiley. ISBN 978-0-340-81405-5.  (англ.)



Апостеріорна ймовірність Інформацію Про

Апостеріорна ймовірність


  • user icon

    Апостеріорна ймовірність beatiful post thanks!

    29.10.2014


Апостеріорна ймовірність
Апостеріорна ймовірність
Апостеріорна ймовірність Ви переглядаєте суб єкт.
Апостеріорна ймовірність що, Апостеріорна ймовірність хто, Апостеріорна ймовірність опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Випадкові Статті

Дамар (місто)

Дамар (місто)

Координати 14°33′00″ пн. ш. 44°24′06″ сх. д. / 14.55000° пн. ш. 44.4...
Порту-Тромбетас

Порту-Тромбетас

Порту-Тромбетас — гігінтське латеритне родовище гібситових бокситів в Бразилії. Характеристика ...
Зимова Універсіада 2017

Зимова Універсіада 2017

Зимова Універсіада 2017 — XXVIІI зимова Універсіада, що проходила з 29 січня по 8 лютого 2017 р...
Сістеля

Сістеля

Сістеля (кат. Cistella) - муніципалітет, розташований в Автономній області Каталонія, в Іспанії. Зна...