TR | UK | KK | BE | EN |

Теория Купмана — фон Неймана


Пространство · Время · Масса· Скорость · Сила · Механическая работа · Энергия · Импульс

Формулировки

Ньютоновская механика · Лагранжева механика · Гамильтонова механика · Формализм Гамильтона — Якоби · Уравнения Рауса · Уравнения Аппеля · Теория Купмана — фон Неймана

Разделы

Прикладная механика · Небесная механика · Механика сплошных сред · Геометрическая оптика · Статистическая механика

Учёные

Галилей · Кеплер · Ньютон · Эйлер · Лаплас · Д’Аламбер · Лагранж · Гамильтон · Коши

См также: Портал:Физика

Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана KvN-теорией в математической физике называется оригинальная переформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Купманом Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шрёдингера и т д

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом фазовом пространстве Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в 1931—1932 годах

Содержание

  • 1 История создания
  • 2 Основные положения и свойства
  • 3 Соотнесение с квантовой механикой
  • 4 Значение
  • 5 Примечания
  • 6 Литература

История создания

Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики К началу 1931 года серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л Больцманом ещё в 1887 году Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с законам ньютоновской механики[1]

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршалла Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов[2] Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана[3], который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения[4] Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы Опираясь на результаты Купмана и А Вейля, он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории в данных работах была, в частности, доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема[5] Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств

Основные положения и свойства

Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций Ψ t , p , q координат q и импульсов p , оснащённого следующим скалярным произведением:

⟨ Ψ 1 t | Ψ 2 t ⟩ = ∫ p ∫ q Ψ 1 ∗ t , p , q Ψ 2 t , p , q d q d p , t|\Psi _t\rangle =\int \limits _\int \limits _\Psi _^t,p,q\Psi _t,p,q\,dq\,dp,} 1

где звёздочка означает комплексное сопряжение для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака[6] Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности ρ p , q , t нахождения частицы в заданной точке p , q фазового пространства в момент времени t :

ρ t , p , q = | Ψ t , p , q | 2 } 2

Из данного постулата и определения 1 помимо условия нормировки ⟨ Ψ t | Ψ t ⟩ = 1 следует, что среднее значение ⟨ X ⟩ произвольной физической величины X , заданной действительной функцией X p , q может быть найдено по формуле

⟨ X ⟩ t = ⟨ Ψ t | X ^ Ψ t ⟩ = ⟨ Ψ t X ^ | Ψ t ⟩ = ⟨ Ψ t | X ^ | Ψ t ⟩ , }\Psi t\rangle =\langle \Psi t}|\Psi t\rangle =\langle \Psi t|}|\Psi t\rangle ,} 3

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики смысл крышечки над X будет раскрыт ниже Это делает правомерным присвоить функции Ψ t , p , q название классической волновой функции

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля i ∂ ∂ t ρ = L ^ ρ }\rho =}\rho } для классического распределения плотности вероятности ρ t , p , q в фазовом пространстве:

i ∂ ∂ t | Ψ ⟩ = L ^ | Ψ ⟩ , }|\Psi \rangle =}|\Psi \rangle ,} 4

где

L ^ = − i H p x , p ∂ ∂ x + i H x x , p ∂ ∂ p }=-iH_x,p}+iH_x,p}} 5

есть классический оператор Лиувилля Из данного постулата с учетом свойств 2 и 3 классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:

Ψ t , p , q = ρ t , p , q e i ϕ t , p , q , }e^,} 6

в котором фаза ϕ t , p , q является произвольной действительной функцией своих аргументов

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения 5 и 6 являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений Наиболее общая современная форма генератора движения 5 имеет следующий вид:

L ^ = − H p x ^ , p ^ λ ^ x + H x x ^ , p ^ λ ^ p , }=-H_},}}_+H_},}}_,} 7

где x ^ , p ^ , λ ^ x , λ ^ p },},}_,}_} являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

[ x ^ , λ ^ x ] = i ; [ p ^ , λ ^ p ] = i ; [ p ^ , x ^ ] = [ λ ^ p , λ ^ x ] = [ p ^ , λ ^ x ] = [ λ ^ p , x ^ ] = 0 , },}_]=i;\quad =i;\quad ====0,} 8

в которых скобками [ ⋅ , ⋅ ] обозначен коммутатор операторов Соотношения 8 представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики Легко проверить, что выражение 5 получается из 8 при выборе x ^ = x }=x} , p ^ = p }=p} , λ ^ x = − i ∂ ∂ x }_=-i}} , λ ^ p = − i ∂ ∂ p }_=-i}} Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства

Аналогичным образом, любой физической величине X p , q ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой X ^ = X p ^ , q ^ }=X},}} , получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы x ^ }} и p ^ }} коммутируют По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой

Генератор движения 7 также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением 4 описывается некоторым унитарным преобразованием U t } классической волновой функции: | Ψ t ⟩ = U t | Ψ 0 ⟩ |\Psi 0\rangle } , причём отображение t ↦ U t } представляет собой однопараметрическую группу В этом смысле уравнение 4 структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы[1] В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы теории возмущений и функционального интегрирования[7], фейнмановскую диаграммную технику[8]

Соотнесение с квантовой механикой

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN-теория имеет с ней существенные различия Прямая проверка[6] показывает, что эволюция классической волновой функции 6 по закону 4 распадается на два независимых уравнения для фазы ϕ t , p , q и предэкспоненциального множителя Таким образом, фазовый множитель ϕ t , p , q в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов По той же причине неселективное измерение не приводит к изменению классической волновой функции[6]

Воспроизвести медиафайл Классическая эволюция
KvN-функции Ψ t , p , q
Воспроизвести медиафайл Квантовая эволюция
функции Вигнера P t , p , q
Подробности

Видеофайлы иллюстрируют, соответственно, классическую и квантовую динамику распределения частиц единичной массы в потенциале Морзе: U x = 20 1 − e − 0 , 16 x 2 16x}^} для идентичных начальных условий: P 0 , p , q = Ψ 0 , p , q Чёрные точки изображают перемещения классических частиц в соответствии с законами ньютоновской динамики Чёрные линии являются уровнями одинаковой полной кинетическая + потенциальная энергии частиц

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения 7 — классического лиувиллиана Оператор 7 — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений 8 По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов λ x } and λ p } Квантовомеханический случай значительно проще Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в уравнении Шрёдингера, одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику[9]

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана классическим пределом какого-либо квантового представления Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является чистое квантовое состояние[10] Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме 7 получается как классический предел ℏ → 0 в соответствующем генераторе движения для функции Вигнера P p , q Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории Укрощения борьбы противоположностей можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме 1 и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних

⟨ X ⟩ = ∫ p ∫ q X p , q P p , q d q d p \int \limits _Xp,qPp,q\,dq\,dp} 9

правило 3 с подстановкой функции P p , q вместо Ψ p , q Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний т е результаты вычисления по формулам 3 и 9 совпадают и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе ℏ → 0 Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности «функции квазивероятностного распределения Вигнера», поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией P p , q , а вычисляется по формуле 2 и всегда положительно Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай смешанных квантовых состояний

Значение

За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений[8] Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами

Примечания

  1. 1 2 The Legacy of John von Neumann Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50, edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer — Amata Graphics, 2006 — ISBN 0-8218-4219-6
  2. ↑ Подробности о результате Стоуна можно узнать из статьи Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве
  3. ↑ Koopman, B O "Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space" // Proceedings of the National Academy of Sciences 17 5, 315 1931
  4. ↑ Сходные идеи одновременно и независимо разрабатывались Вейлем
  5. ↑ von Neumann, J "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics 33 3, 587–642 1932
       von Neumann, J "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode"" // Annals of Mathematics 33 4, 789–791 1932
       Collected Works of John von Neumann, Taub, A H, ed, Pergamon Press, 1963 ISBN 0-08-009566-6
  6. 1 2 3 Mauro, D 2002 "Topics in Koopman — von Neumann Theory" arXiv:quant-ph/0301172 [quant-ph] существует выборочный перевод на русский язык МХ Шульмана:
  7. ↑ Liboff, R L Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions — Springer, 2003 — ISBN 9780387955513
  8. 1 2 Blasone M, Jizba P, Kleinert H «Path-integral approach to 't Hooft’s derivation of quantum physics from classical physics» // Physical Review A 715, 052507 2005
  9. ↑ Гришанин Б А «Классическая механика в квантовой форме: почему природа „предпочла“ квантовую механику», в книге: Б А Гришанин Избранные работы и воспоминания близких, друзей и коллег по редакцией В Н Задкова и Ю М Романовского — Изд-во МГУ, 2011
  10. ↑ Bondar D; Cabrera R; Zhdanov D; Rabitz H 2012 «Wigner Function’s Negativity Demystified» // arXiv:12023628[quant-ph]

Литература

  • Mauro, D 2002 «Topics in Koopman — von Neumann Theory» arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph] существует выборочный перевод на русский язык М Х Шульмана:
  • John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955 Reprinted in paperback form
  • HR Jauslin, D Sugny, Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric quantization and coherent states, Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol, August 13, 2009
  • The Legacy of John von Neumann Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50, edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer — Amata Graphics, 2006 — ISBN 0821842196


Теория Купмана — фон Неймана Информацию О

Теория Купмана — фон Неймана


  • user icon

    Теория Купмана — фон Неймана beatiful post thanks!

    29.10.2014


Теория Купмана — фон Неймана
Теория Купмана — фон Неймана
Теория Купмана — фон Неймана Вы просматриваете субъект
Теория Купмана — фон Неймана что, Теория Купмана — фон Неймана кто, Теория Купмана — фон Неймана описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Случайные Статьи

Громов, Евгений Иванович

Громов, Евгений Иванович

Евгений Иванович Громов (10 февраля 1909(19090210) — 21 ноября 1981, Москва) — советский п...
J

J

J: J — буква латиницы Ј — буква кириллицы j — обозначение палатального сонорного сог...
Пайдейя

Пайдейя

Пайдейя (др.-греч. παιδεία — воспитание детей; от παιδος — мальчик, подросток) — категория...
Каделл ап Грифид

Каделл ап Грифид

Ка́делл ап Гри́фид (валл. Cadell ap Gruffydd) (умер в 1175 году) — правитель королевства Дехейб...