Полиформа


Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд5

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски67 Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером89

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т д710

Содержание

  • 1 Правила соединения
  • 2 Симметрии
  • 3 Виды и применение полиформ
  • 4 Полиформы на гиперболических паркетах
  • 5 Примечания
  • 6 Литература
  • 7 Ссылки

Правила соединенияправить

Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае Обычно принимаются следующие правила:

  • Ячейки полиформы не должны перекрываться
  • Две соседние многоугольные многогранные ячейки должны иметь общее ребро для трёхмерных полиформ - общую грань
    • Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол на плоскости или общие ребро или вершину в пространстве, то полиформа называется псевдополиформой англ pseudopolyform, pseudo-n-form7
    • Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой англ quasipolyform, quasi-n-form7

Симметрииправить

Фигуры для игры Ubongo англ

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ711:

  • свободная англ free или двусторонняя англ two-sided полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать;
  • односторонняя англ one-sided полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать;
  • фиксированная англ fixed полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать

Виды и применение полиформправить

Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида Другой задачей является укладка фигур из заданного набора часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино в заданную область в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку

Форма ячейки моноформа Связность фигуры Полиформа
квадрат сторона полимино англ polyomino711
сторона, угол псевдополимино712
полиплет англ polyplet13
правильный треугольник сторона полиамонд англ polyiamond, polyamond714
правильный шестиугольник сторона полигекс англ polyhex715
куб грань поликуб англ polycube716
треугольник 45-45-90 сторона полиаболо англ polyabolo17
треугольник 30-60-90 сторона полидрафтер англ англ polydrafter18
квадрат
в трёхмерном пространстве
ребро 90°, 180° полиминоид англ polyominoid
ромбододекаэдр грань полирон англ polyrhon12
отрезок конец 90°, 180° полистик англ англ polystick19
5 тетрамино на квадратном паркете порядка 520, изображённые на диске Пуанкаре «Евклидово» квадратное тетрамино 2×2 превращается в «гиперболическое» пятиугольное пентамино с удалённым квадратом; структура четырёх других тетрамино остаётся неизменной21

Полиформы на гиперболических паркетахправить

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны2221 Так, на квадратном паркете порядка 520 существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино, 5 тетрамино21 На правильном семиугольном паркете порядка 323 существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников22, причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников24

Примечанияправить

  1. 1 2 George Sicherman Catalogue of Polyrhons
  2. 1 2 Stewart T Coffin The Puzzling World of Polyhedral Dissections Chapter 18: Puzzles Made of Polyhedral Blocks
  3. Последовательность A038172 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra or edge-connected cubes in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice
  4. Последовательность A038173 в OEIS = Number of "connected animals" formed from n rhombic dodecahedra or edge-connected cubes in the face-centered cubic lattice, allowing translation and rotations of the lattice and reflections
  5. Weisstein, Eric W Polyform англ на сайте Wolfram MathWorld
  6. Генри Э Дьюдени Кентерберийские головоломки — 197 — С 111 — 113
  7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Голомб С В Полимино — 1975
  8. Гарднер М Математические головоломки и развлечения, 1971 — Глава 12 Полиомино — с111—124
  9. Гарднер М Математические новеллы, 1974 — Глава 7 Пентамино и полиомино: пять игр и серия задач — с81—95
  10. Steven Schwartzman The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English — MAA, 1994 — С 5,68,72,83,104,106,140,149,162,168-169 — 261 с — ISBN 0-88385-511-9
  11. 1 2 Weisstein, Eric W Polyomino англ на сайте Wolfram MathWorld
  12. Miroslav Vicher Polyforms
  13. Weisstein, Eric W Polyplet англ на сайте Wolfram MathWorld
  14. Weisstein, Eric W Polyiamond англ на сайте Wolfram MathWorld
  15. Weisstein, Eric W Polyhex англ на сайте Wolfram MathWorld
  16. Weisstein, Eric W Polycube англ на сайте Wolfram MathWorld
  17. Weisstein, Eric W Polyabolo англ на сайте Wolfram MathWorld
  18. Weisstein, Eric W Polydrafter англ на сайте Wolfram MathWorld
  19. Weisstein, Eric W Polystick англ на сайте Wolfram MathWorld
  20. 1 2 Квадратный паркет порядка 5 — правильный паркет на гиперболической плоскости, в каждой вершине которого сходятся пять квадратов
  21. 1 2 3 Последовательность A119611 в OEIS = Number of free polyominoes in 4,5 tessellation of the hyperbolic plane
  22. 1 2 Holy Hyperbolic Heptagons! Puzzle Zapper Blog
  23. В каждой вершине семиугольного паркета порядка 3 сходятся три правильных семиугольника
  24. George Sicherman Catalogue of Polyhepts

Литератураправить

  • Голомб СВ Полимино = Polyominoes / Пер с англ В Фирсова Предисл и ред И Яглома — М: Мир, 1975 — 207 с

Ссылкиправить

  • Andrew Clarke The Poly Pages англ
  • David Eppstein The Geometry Junkyard англ
  • Peter F Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages англ
  • Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver англ
  • George Sicherman Polyform Curiosities англ
  • Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages англ
  • Aad van de Wetering Letters en cijfers нид
  • Livio Zucca PolyMultiForms англ
  • Kadon Enterprises, Inc Polyform Puzzles англ
  • Alexandre Owen Muñiz Math at First Sight англ




Полиформа Информация о

Полиформа

Полиформа
Полиформа

Полиформа Информация Видео


Полиформа Просмотр темы.
Полиформа что, Полиформа кто, Полиформа объяснение

There are excerpts from wikipedia on this article and video