Полиномы Цернике

Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике Они играют важную роль в оптике1

Содержание

1 Определения
- 11 Другие представления
2 Свойства
- 21 Ортогональность
3 Примеры
- 31 Радиальные полиномы
4 Ссылки

Определенияправить

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике Чётные полиномы определены как

Z n m ρ , φ = R n m ρ cos ⁡ m φ ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\cosm\,\varphi ,

а нечётные как

Z n − m ρ , φ = R n m ρ sin ⁡ m φ , ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\sinm\,\varphi , ,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0 ≤ ρ ≤ 1 Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, те | Z n m ρ , φ | ≤ 1 ^\rho ,\varphi |\leq 1

Радиальные полиномы R n m ^ определяются как

R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k ! k ! n + m / 2 − k ! n − m / 2 − k ! ρ n − 2 k ^\rho =\!\sum _^\!\!\!\,n-k!\;\rho ^

для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m

Другие представленияправить

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях ρ суть целые числа:

R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k k n − 2 k n − m 2 − k ρ n − 2 k ^\rho =\sum _^-1^-k\rho ^

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти полиномы являются частным случаем полиномов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и тд, используется запись в виде гипергеометрических функций:

R n m ρ = n n + m 2 ρ n 2 F 1 − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 = − 1 n + m 2 n + m 2 n − m 2 ρ m 2 F 1 1 + n , 1 − n − m 2 ; 1 + n + m 2 ; ρ 2 R_^\rho &=\rho ^\ _F_\left-,-;-n;\rho ^\right\\&=-1^\rho ^\ _F_\left1+n,1-;1+;\rho ^\right\end

для четных значений n − m

Свойстваправить

Ортогональностьправить

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

∫ 0 1 ρ 2 n + 2 R n m ρ 2 n ′ + 2 R n ′ m ρ d ρ = δ n , n ′ ^\rho R_^\rho \,R_^\rho \,d\rho =\delta _

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

∫ 0 2 π cos ⁡ m φ cos ⁡ m ′ φ d φ = ε m π δ | m | , | m ′ | , ^\cosm\varphi \cosm'\varphi \,d\varphi =\varepsilon _\pi \delta _, ∫ 0 2 π sin ⁡ m φ sin ⁡ m ′ φ d φ = − 1 m + m ′ π δ | m | , | m ′ | ; m ≠ 0 , ^\sinm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =-1^\pi \delta _;\quad m\neq 0, ∫ 0 2 π cos ⁡ m φ sin ⁡ m ′ φ d φ = 0 , ^\cosm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =0,

где параметр ε m его иногда называют множителем Неймана полагают равным 2, если m = 0 , и равным 1, если m ≠ 0 Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

∫ Z n m ρ , φ Z n ′ m ′ ρ , φ d 2 r = ε m π 2 n + 2 δ n , n ′ δ m , m ′ , ^\rho ,\varphi Z_^\rho ,\varphi \,d^r=\pi \delta _\delta _,

где d 2 r = ρ d ρ d φ r=\rho \,d\rho \,d\varphi — якобиан полярной системы координат, а оба числа n − m и n ′ − m ′ — четные

Примерыправить

Радиальные полиномыправить

Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов

R 0 0 ρ = 1 ^\rho =1 R 1 1 ρ = ρ ^\rho =\rho R 2 0 ρ = 2 ρ 2 − 1 ^\rho =2\rho ^-1 R 2 2 ρ = ρ 2 ^\rho =\rho ^ R 3 1 ρ = 3 ρ 3 − 2 ρ ^\rho =3\rho ^-2\rho R 3 3 ρ = ρ 3 ^\rho =\rho ^ R 4 0 ρ = 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ^\rho =6\rho ^-6\rho ^+1 R 4 2 ρ = 4 ρ 4 − 3 ρ 2 ^\rho =4\rho ^-3\rho ^ R 4 4 ρ = ρ 4 ^\rho =\rho ^ R 5 1 ρ = 10 ρ 5 − 12 ρ 3 + 3 ρ ^\rho =10\rho ^-12\rho ^+3\rho R 5 3 ρ = 5 ρ 5 − 4 ρ 3 ^\rho =5\rho ^-4\rho ^ R 5 5 ρ = ρ 5 ^\rho =\rho ^ R 6 0 ρ = 20 ρ 6 − 30 ρ 4 + 12 ρ 2 − 1 ^\rho =20\rho ^-30\rho ^+12\rho ^-1 R 6 2 ρ = 15 ρ 6 − 20 ρ 4 + 6 ρ 2 ^\rho =15\rho ^-20\rho ^+6\rho ^ R 6 4 ρ = 6 ρ 6 − 5 ρ 4 ^\rho =6\rho ^-5\rho ^ R 6 6 ρ = ρ 6 ^\rho =\rho ^