Полиномы Цернике


Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике Они играют важную роль в оптике1

Содержание

  • 1 Определения
    • 11 Другие представления
  • 2 Свойства
    • 21 Ортогональность
  • 3 Примеры
    • 31 Радиальные полиномы
  • 4 Ссылки

Определенияправить

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике Чётные полиномы определены как

Z n m ρ , φ = R n m ρ cos ⁡ m φ ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\cosm\,\varphi ,

а нечётные как

Z n − m ρ , φ = R n m ρ sin ⁡ m φ , ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\sinm\,\varphi , ,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0 ≤ ρ ≤ 1 Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, те | Z n m ρ , φ | ≤ 1 ^\rho ,\varphi |\leq 1

Радиальные полиномы R n m ^ определяются как

R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k ! k ! n + m / 2 − k ! n − m / 2 − k ! ρ n − 2 k ^\rho =\!\sum _^\!\!\!\,n-k!\;\rho ^

для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m

Другие представленияправить

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях ρ суть целые числа:

R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k k n − 2 k n − m 2 − k ρ n − 2 k ^\rho =\sum _^-1^-k\rho ^

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти полиномы являются частным случаем полиномов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и тд, используется запись в виде гипергеометрических функций:

R n m ρ = n n + m 2 ρ n   2 F 1 − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 = − 1 n + m 2 n + m 2 n − m 2 ρ m   2 F 1 1 + n , 1 − n − m 2 ; 1 + n + m 2 ; ρ 2 R_^\rho &=\rho ^\ _F_\left-,-;-n;\rho ^\right\\&=-1^\rho ^\ _F_\left1+n,1-;1+;\rho ^\right\end

для четных значений n − m

Свойстваправить

Ортогональностьправить

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

∫ 0 1 ρ 2 n + 2 R n m ρ 2 n ′ + 2 R n ′ m ρ d ρ = δ n , n ′ ^\rho R_^\rho \,R_^\rho \,d\rho =\delta _

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

∫ 0 2 π cos ⁡ m φ cos ⁡ m ′ φ d φ = ε m π δ | m | , | m ′ | , ^\cosm\varphi \cosm'\varphi \,d\varphi =\varepsilon _\pi \delta _, ∫ 0 2 π sin ⁡ m φ sin ⁡ m ′ φ d φ = − 1 m + m ′ π δ | m | , | m ′ | ; m ≠ 0 , ^\sinm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =-1^\pi \delta _;\quad m\neq 0, ∫ 0 2 π cos ⁡ m φ sin ⁡ m ′ φ d φ = 0 , ^\cosm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =0,

где параметр ε m его иногда называют множителем Неймана полагают равным 2, если m = 0 , и равным 1, если m ≠ 0 Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

∫ Z n m ρ , φ Z n ′ m ′ ρ , φ d 2 r = ε m π 2 n + 2 δ n , n ′ δ m , m ′ , ^\rho ,\varphi Z_^\rho ,\varphi \,d^r=\pi \delta _\delta _,

где d 2 r = ρ d ρ d φ r=\rho \,d\rho \,d\varphi — якобиан полярной системы координат, а оба числа n − m и n ′ − m ′ — четные

Примерыправить

Радиальные полиномыправить

Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов

R 0 0 ρ = 1 ^\rho =1 R 1 1 ρ = ρ ^\rho =\rho R 2 0 ρ = 2 ρ 2 − 1 ^\rho =2\rho ^-1 R 2 2 ρ = ρ 2 ^\rho =\rho ^ R 3 1 ρ = 3 ρ 3 − 2 ρ ^\rho =3\rho ^-2\rho R 3 3 ρ = ρ 3 ^\rho =\rho ^ R 4 0 ρ = 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ^\rho =6\rho ^-6\rho ^+1 R 4 2 ρ = 4 ρ 4 − 3 ρ 2 ^\rho =4\rho ^-3\rho ^ R 4 4 ρ = ρ 4 ^\rho =\rho ^ R 5 1 ρ = 10 ρ 5 − 12 ρ 3 + 3 ρ ^\rho =10\rho ^-12\rho ^+3\rho R 5 3 ρ = 5 ρ 5 − 4 ρ 3 ^\rho =5\rho ^-4\rho ^ R 5 5 ρ = ρ 5 ^\rho =\rho ^ R 6 0 ρ = 20 ρ 6 − 30 ρ 4 + 12 ρ 2 − 1 ^\rho =20\rho ^-30\rho ^+12\rho ^-1 R 6 2 ρ = 15 ρ 6 − 20 ρ 4 + 6 ρ 2 ^\rho =15\rho ^-20\rho ^+6\rho ^ R 6 4 ρ = 6 ρ 6 − 5 ρ 4 ^\rho =6\rho ^-5\rho ^ R 6 6 ρ = ρ 6 ^\rho =\rho ^

Ссылкиправить

  1. Zernike, F 1934 «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode» Physica I 8: 689-704


Полиномы Цернике Информацию О

Полиномы Цернике


  • user icon

    Полиномы Цернике beatiful post thanks!

    29.10.2014


Полиномы Цернике
Полиномы Цернике
Полиномы Цернике Вы просматриваете субъект
Полиномы Цернике что, Полиномы Цернике кто, Полиномы Цернике описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Случайные Статьи

Атака

Атака

Атака: В Викисловаре есть статья «атака» Атака — стремительное и скоординированное движение ...
Виды рода Шиповник

Виды рода Шиповник

Список видов рода Шиповник составлен на основе данных Germplasm Resources Information Network и друг...
Новиков, Андрей Владимирович (журналист)

Новиков, Андрей Владимирович (журналист)

Новиков Андрей Владимирович Род деятельности: журналист, правозащитник Дата рождения: 9...
Издательский совет Московского патриархата

Издательский совет Московского патриархата

119435, Москва, ул. Погодинская, д. 20/3, стр. 2 Тип организации: синодальный отдел Московского ...