Полиномы Цернике


Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике Они играют важную роль в оптике1

Содержание

  • 1 Определения
    • 11 Другие представления
  • 2 Свойства
    • 21 Ортогональность
  • 3 Примеры
    • 31 Радиальные полиномы
  • 4 Ссылки

Определенияправить

Есть чётные и нечётные полиномы Цернике Чётные полиномы определены как

Z n m ρ , φ = R n m ρ cos ⁡ m φ ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\cosm\,\varphi ,

а нечётные как

Z n − m ρ , φ = R n m ρ sin ⁡ m φ , ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\sinm\,\varphi , ,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0 ≤ ρ ≤ 1 Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, те | Z n m ρ , φ | ≤ 1 ^\rho ,\varphi |\leq 1

Радиальные полиномы R n m ^ определяются как

R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k ! k ! n + m / 2 − k ! n − m / 2 − k ! ρ n − 2 k ^\rho =\!\sum _^\!\!\!\,n-k!\;\rho ^

для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m

Другие представленияправить

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях ρ суть целые числа:

R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k k n − 2 k n − m 2 − k ρ n − 2 k ^\rho =\sum _^-1^-k\rho ^

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти полиномы являются частным случаем полиномов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и тд, используется запись в виде гипергеометрических функций:

R n m ρ = n n + m 2 ρ n   2 F 1 − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 = − 1 n + m 2 n + m 2 n − m 2 ρ m   2 F 1 1 + n , 1 − n − m 2 ; 1 + n + m 2 ; ρ 2 R_^\rho &=\rho ^\ _F_\left-,-;-n;\rho ^\right\\&=-1^\rho ^\ _F_\left1+n,1-;1+;\rho ^\right\end

для четных значений n − m

Свойстваправить

Ортогональностьправить

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

∫ 0 1 ρ 2 n + 2 R n m ρ 2 n ′ + 2 R n ′ m ρ d ρ = δ n , n ′ ^\rho R_^\rho \,R_^\rho \,d\rho =\delta _

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

∫ 0 2 π cos ⁡ m φ cos ⁡ m ′ φ d φ = ε m π δ | m | , | m ′ | , ^\cosm\varphi \cosm'\varphi \,d\varphi =\varepsilon _\pi \delta _, ∫ 0 2 π sin ⁡ m φ sin ⁡ m ′ φ d φ = − 1 m + m ′ π δ | m | , | m ′ | ; m ≠ 0 , ^\sinm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =-1^\pi \delta _;\quad m\neq 0, ∫ 0 2 π cos ⁡ m φ sin ⁡ m ′ φ d φ = 0 , ^\cosm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =0,

где параметр ε m его иногда называют множителем Неймана полагают равным 2, если m = 0 , и равным 1, если m ≠ 0 Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

∫ Z n m ρ , φ Z n ′ m ′ ρ , φ d 2 r = ε m π 2 n + 2 δ n , n ′ δ m , m ′ , ^\rho ,\varphi Z_^\rho ,\varphi \,d^r=\pi \delta _\delta _,

где d 2 r = ρ d ρ d φ r=\rho \,d\rho \,d\varphi — якобиан полярной системы координат, а оба числа n − m и n ′ − m ′ — четные

Примерыправить

Радиальные полиномыправить

Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов

R 0 0 ρ = 1 ^\rho =1 R 1 1 ρ = ρ ^\rho =\rho R 2 0 ρ = 2 ρ 2 − 1 ^\rho =2\rho ^-1 R 2 2 ρ = ρ 2 ^\rho =\rho ^ R 3 1 ρ = 3 ρ 3 − 2 ρ ^\rho =3\rho ^-2\rho R 3 3 ρ = ρ 3 ^\rho =\rho ^ R 4 0 ρ = 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ^\rho =6\rho ^-6\rho ^+1 R 4 2 ρ = 4 ρ 4 − 3 ρ 2 ^\rho =4\rho ^-3\rho ^ R 4 4 ρ = ρ 4 ^\rho =\rho ^ R 5 1 ρ = 10 ρ 5 − 12 ρ 3 + 3 ρ ^\rho =10\rho ^-12\rho ^+3\rho R 5 3 ρ = 5 ρ 5 − 4 ρ 3 ^\rho =5\rho ^-4\rho ^ R 5 5 ρ = ρ 5 ^\rho =\rho ^ R 6 0 ρ = 20 ρ 6 − 30 ρ 4 + 12 ρ 2 − 1 ^\rho =20\rho ^-30\rho ^+12\rho ^-1 R 6 2 ρ = 15 ρ 6 − 20 ρ 4 + 6 ρ 2 ^\rho =15\rho ^-20\rho ^+6\rho ^ R 6 4 ρ = 6 ρ 6 − 5 ρ 4 ^\rho =6\rho ^-5\rho ^ R 6 6 ρ = ρ 6 ^\rho =\rho ^

Ссылкиправить

  1. Zernike, F 1934 «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode» Physica I 8: 689-704


Полиномы Цернике Информацию О

Полиномы Цернике


  • user icon

    Полиномы Цернике beatiful post thanks!

    29.10.2014


Полиномы Цернике
Полиномы Цернике
Полиномы Цернике Вы просматриваете субъект
Полиномы Цернике что, Полиномы Цернике кто, Полиномы Цернике описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Случайные Статьи

Громов, Евгений Иванович

Громов, Евгений Иванович

Евгений Иванович Громов (10 февраля 1909(19090210) — 21 ноября 1981, Москва) — советский п...
J

J

J: J — буква латиницы Ј — буква кириллицы j — обозначение палатального сонорного сог...
Пайдейя

Пайдейя

Пайдейя (др.-греч. παιδεία — воспитание детей; от παιδος — мальчик, подросток) — категория...
Каделл ап Грифид

Каделл ап Грифид

Ка́делл ап Гри́фид (валл. Cadell ap Gruffydd) (умер в 1175 году) — правитель королевства Дехейб...