Полиномы Цернике
Полиномы Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике Они играют важную роль в оптике1
Содержание
- 1 Определения
- 11 Другие представления
- 2 Свойства
- 21 Ортогональность
- 3 Примеры
- 31 Радиальные полиномы
- 4 Ссылки
Определенияправить
Есть чётные и нечётные полиномы Цернике Чётные полиномы определены как
Z n m ρ , φ = R n m ρ cos m φ ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\cosm\,\varphi ,а нечётные как
Z n − m ρ , φ = R n m ρ sin m φ , ^\rho ,\varphi =R_^\rho \,\sinm\,\varphi , ,где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n≥m, φ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0 ≤ ρ ≤ 1 Полиномы Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, те | Z n m ρ , φ | ≤ 1 ^\rho ,\varphi |\leq 1
Радиальные полиномы R n m ^ определяются как
R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k ! k ! n + m / 2 − k ! n − m / 2 − k ! ρ n − 2 k ^\rho =\!\sum _^\!\!\!\,n-k!\;\rho ^для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m
Другие представленияправить
Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях ρ суть целые числа:
R n m ρ = ∑ k = 0 n − m / 2 − 1 k n − k k n − 2 k n − m 2 − k ρ n − 2 k ^\rho =\sum _^-1^-k\rho ^Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти полиномы являются частным случаем полиномов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и тд, используется запись в виде гипергеометрических функций:
R n m ρ = n n + m 2 ρ n 2 F 1 − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 = − 1 n + m 2 n + m 2 n − m 2 ρ m 2 F 1 1 + n , 1 − n − m 2 ; 1 + n + m 2 ; ρ 2 R_^\rho &=\rho ^\ _F_\left-,-;-n;\rho ^\right\\&=-1^\rho ^\ _F_\left1+n,1-;1+;\rho ^\right\endдля четных значений n − m
Свойстваправить
Ортогональностьправить
Ортогональность в радиальной части записывается равенством
∫ 0 1 ρ 2 n + 2 R n m ρ 2 n ′ + 2 R n ′ m ρ d ρ = δ n , n ′ ^\rho R_^\rho \,R_^\rho \,d\rho =\delta _Ортогональность в угловой части представляется набором равенств
∫ 0 2 π cos m φ cos m ′ φ d φ = ε m π δ | m | , | m ′ | , ^\cosm\varphi \cosm'\varphi \,d\varphi =\varepsilon _\pi \delta _, ∫ 0 2 π sin m φ sin m ′ φ d φ = − 1 m + m ′ π δ | m | , | m ′ | ; m ≠ 0 , ^\sinm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =-1^\pi \delta _;\quad m\neq 0, ∫ 0 2 π cos m φ sin m ′ φ d φ = 0 , ^\cosm\varphi \sinm'\varphi \,d\varphi =0,где параметр ε m его иногда называют множителем Неймана полагают равным 2, если m = 0 , и равным 1, если m ≠ 0 Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:
∫ Z n m ρ , φ Z n ′ m ′ ρ , φ d 2 r = ε m π 2 n + 2 δ n , n ′ δ m , m ′ , ^\rho ,\varphi Z_^\rho ,\varphi \,d^r=\pi \delta _\delta _,где d 2 r = ρ d ρ d φ r=\rho \,d\rho \,d\varphi — якобиан полярной системы координат, а оба числа n − m и n ′ − m ′ — четные
Примерыправить
Радиальные полиномыправить
Ниже представлены несколько первых радиальных полиномов
R 0 0 ρ = 1 ^\rho =1 R 1 1 ρ = ρ ^\rho =\rho R 2 0 ρ = 2 ρ 2 − 1 ^\rho =2\rho ^-1 R 2 2 ρ = ρ 2 ^\rho =\rho ^ R 3 1 ρ = 3 ρ 3 − 2 ρ ^\rho =3\rho ^-2\rho R 3 3 ρ = ρ 3 ^\rho =\rho ^ R 4 0 ρ = 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 ^\rho =6\rho ^-6\rho ^+1 R 4 2 ρ = 4 ρ 4 − 3 ρ 2 ^\rho =4\rho ^-3\rho ^ R 4 4 ρ = ρ 4 ^\rho =\rho ^ R 5 1 ρ = 10 ρ 5 − 12 ρ 3 + 3 ρ ^\rho =10\rho ^-12\rho ^+3\rho R 5 3 ρ = 5 ρ 5 − 4 ρ 3 ^\rho =5\rho ^-4\rho ^ R 5 5 ρ = ρ 5 ^\rho =\rho ^ R 6 0 ρ = 20 ρ 6 − 30 ρ 4 + 12 ρ 2 − 1 ^\rho =20\rho ^-30\rho ^+12\rho ^-1 R 6 2 ρ = 15 ρ 6 − 20 ρ 4 + 6 ρ 2 ^\rho =15\rho ^-20\rho ^+6\rho ^ R 6 4 ρ = 6 ρ 6 − 5 ρ 4 ^\rho =6\rho ^-5\rho ^ R 6 6 ρ = ρ 6 ^\rho =\rho ^Ссылкиправить
- ↑ Zernike, F 1934 «Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode» Physica I 8: 689-704
Это заготовка статьи по математике Вы можете помочь проекту, дополнив её |
Полиномы Цернике Информацию О

-
Полиномы Цернике beatiful post thanks!
29.10.2014
Полиномы Цернике
Полиномы Цернике
Полиномы Цернике Вы просматриваете субъект
There are excerpts from wikipedia on this article and video
Случайные Статьи
Красноярский край
Красноярский край Флаг Герб Административный центр Красноярск Площадь 2-й ...Ничего себе поездочка
драма / триллер Режиссёр Джон Даль Продюсер Крис Мур Джей Джей Абрамс Автор сценария Клэ...Павлов, Геннадий Иванович
Геннадий Иванович Павлов Дата рождения: 27 апреля 1932(1932-04-27) Место рождения: ...Социализм (фильм)
драма Режиссёр Жан-Люк Годар Продюсер Рут Вальдбургер Автор сценария Жан-Люк Годар В&...поисковая система
Наш сайт имеет систему в функции поисковой системы. Выше: "что вы искали?"вы можете запросить все в системе с коробкой. Добро пожаловать в нашу простую, стильную и быструю поисковую систему, которую мы подготовили, чтобы предоставить вам самую точную и актуальную информацию.Поисковая система, разработанная для вас, доставляет вам самую актуальную и точную информацию с простым дизайном и системой быстрого функционирования. Вы можете найти почти любую информацию, которую вы ищете на нашем сайте. На данный момент мы служим только на английском, турецком, русском, украинском, казахском и белорусском языках.
Очень скоро в систему будут добавлены новые языки. Жизнь известных людей дает вам информацию, изображения и видео о сотнях тем, таких как политики, правительственные деятели, врачи, интернет-сайты, растения, технологические транспортные средства, автомобили и т. д.
Случайные Статьи
Лебедев, Алексей Алексеевич (подводник)
Алексей Алексеевич Лебедев Дата рождения: 1 августа (19 июля) 1912(1912-07-19) Место рождения...Вьен
Вьен (фр. Vienne [viɛn ], франкопров. Vièna) — коммуна и город во Франции, находится в рег...Мегабанк
Публичное акционерное общество Деятельность Финансовые услуги Девиз «Ви маєте плани. Ми маєм...Гагаринский район
Гага́ринский райо́н: Гагаринский район — муниципальный район в Смоленской области России. Гага...© Copyright © 2014. поисковая система