Поверхность вращения


Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Поверхность, полученная вращением кривой x=2+cos z вокруг оси z

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии[1]

Содержание

  • 1 Примеры
  • 2 Площадь
  • 3 Объём
  • 4 Примечания

Примеры

  • Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
  • Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
  • Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают. Может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей.
  • Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
  • Конус получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.
  • Круговая цилиндрическая поверхность
  • Катеноид

Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна

.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле


Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат действительна формула

Объём

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле

Примечания

  1. СГАУ «Курс лекций по начертательной геометрии» Губанов А. Н. под руководством Чемпинского Л. А. ссылка проверена 9 февраля 2009


Поверхность вращения Информация о


Поверхность вращения
Поверхность вращения

Поверхность вращения Информация Видео


Поверхность вращения Просмотр темы.
Поверхность вращения что, Поверхность вращения кто, Поверхность вращения объяснение

There are excerpts from wikipedia on this article and video