Математические основы квантовой механики


Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений. Были созданы Луи де-Бройлем[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором[4] (формулировка принципа дополнительности).

Содержание

  • 1 Наблюдаемые величины и векторы состояний
  • 2 Полный набор совместно наблюдаемых величин
  • 3 Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы
  • 4 Соотношения коммутации
  • 5 Уравнения Гамильтона
  • 6 Уравнение Шрёдингера
  • 7 См. также
  • 8 Примечания
  • 9 Литература

Наблюдаемые величины и векторы состояний

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния. Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний).[5] Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).[5] Физическая величина A {\displaystyle A} может принимать только собственные значения оператора A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}} .[5] Математическое ожидание A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} значений величины A {\displaystyle A} в состоянии ψ {\displaystyle \psi } вычисляется как A ¯ = ( ψ , A ^ ψ ) {\displaystyle {\overline {A}}=(\psi ,{\widehat {A}}\psi )} . Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).[5] Векторы состояний   ψ 1 {\displaystyle ~\psi _{1}} и   ψ 2 {\displaystyle ~\psi _{2}} описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда   ψ 2 = c ψ 1 , {\displaystyle ~\psi _{2}=c\psi _{1},} где   c {\displaystyle ~c}  — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.[6] Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины A {\displaystyle A} в состоянии ψ {\displaystyle \psi } задаются мерой[7]:

d m A ^ , ψ ( a ) = d ( E a ψ , ψ ) {\displaystyle dm_{{\widehat {A}},\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi )} ,

где A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}}  — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине a {\displaystyle a} , ψ {\displaystyle \psi }  — вектор состояния, E a {\displaystyle E_{a}}  — спектральная функция оператора A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}} , круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

ψ → U ψ , A → U A U − 1 {\displaystyle \psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}}

В этом случае любая имеющая смысл физическая величина ( A ψ , ψ ) {\displaystyle (A\psi ,\psi )} не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Полный набор совместно наблюдаемых величин

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов A i , i = 1 , . . . k {\displaystyle A_{i},i=1,...k} образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ( [ A i , A j ] = 0 {\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=0} для всех i , j = 1 , . . . k {\displaystyle i,j=1,...k} , взаимной независимости (ни один из операторов A i {\displaystyle A_{i}} не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми A i {\displaystyle A_{i}} и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций ψ ( a 1 , . . . a k ) {\displaystyle \psi (a_{1},...a_{k})} со скалярным произведением:

( ψ 1 , ψ 2 ) = ∫ ψ 1 ( a 1 , . . . a k ) ψ 2 ( a 1 , . . . a k ) ¯ d μ ( a 1 , . . . a k ) {\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2}(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k})}

Операторы A i {\displaystyle A_{i}} являются операторами умножения на соответствующие переменные:

A i ψ ( a 1 , . . . a k ) = a i ψ ( a 1 , . . . a k ) {\displaystyle A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k})}

Совместное распределение значений наблюдаемых:

P ( a 1 , . . . a k ) = | ψ ( a 1 , . . . a k ) | 2 d μ ( a 1 , . . . a k ) {\displaystyle P(a_{1},...a_{k})=\left|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_{1},...a_{k})}

Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы

В случае частицы в трёхмерном пространстве x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})} наблюдаемыми величинами являются координаты Q 1 , Q 2 , Q 3 {\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}} и импульсы P 1 , P 2 , P 3 {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}} .

В представлении Шредингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} со скалярным произведением:

( ψ 1 , ψ 2 ) = ∫ ψ 1 ( x ) ψ 2 ( x ) ¯ d x {\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)}}dx}

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

x j ^ ψ ( x ) = x j ψ ( x ) , j = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3}

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

p j ^ ψ ( x ) = − i ℏ ∂ ∂ x j ψ ( x ) , j = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\widehat {p_{j}}}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (x),j=1,2,3}

Соотношения коммутации

Операторы декартовых координат x i ^ {\displaystyle {\widehat {x_{i}}}} и операторы импульсов p i ^ {\displaystyle {\widehat {p_{i}}}} удовлетворяют соотношениям коммутации:

[ p i ^ , x k ^ ] = − i ℏ δ i k {\displaystyle \left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{ik}} [ p i ^ , p k ^ ] = 0 {\displaystyle \left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0} [ x i ^ , x k ^ ] = 0 {\displaystyle \left[{\widehat {x_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0}

Здесь ℏ {\displaystyle \hbar }  — постоянная Планка.[5]

Уравнения Гамильтона

Матричные элементы операторов декартовых координат x i ^ {\displaystyle {\widehat {x_{i}}}} и операторов импульсов p i ^ {\displaystyle {\widehat {p_{i}}}} удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

d d t ( f , p i ^ g ) = − ( f , ∂ H ^ ∂ x i ^ g ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{i}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{i}}}}}g)} d d t ( f , x i ^ g ) = ( f , ∂ H ^ ∂ p i ^ g ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{i}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {p_{i}}}}}g)}

Здесь H ^ {\displaystyle {\widehat {H}}}  — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.[5]

Уравнение Шрёдингера

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера

  i ℏ ∂ ψ ∂ t = H ^ ψ , {\displaystyle ~i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi ,} где   H ^ {\displaystyle ~{\hat {H}}}  — гамильтониан:   H ^ = − ℏ 2 2 m ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) + E ^ p o t . {\displaystyle ~{\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}}.} Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:   H ^ ψ = E ψ . {\displaystyle ~{{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.}

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[8]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

См. также

  • Оператор (физика)
  • Гейзенберговское представление операторов
  • Алгебраическая квантовая теория
  • Волновая функция
  • Операторы
  • Оператор Гамильтона
  • Уравнение Шрёдингера
  • Представление Шрёдингера
  • Представление Гейзенберга
  • Уравнение Паули
  • Уравнение Дирака

Примечания

  1. L. de Brogile, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925
  2. W. Heisenberg, Z. S. f. Phys. 33, 879, 1925
  3. E. Schrodinger, Ann. d. phys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
  4. N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
  5. 1 2 3 4 5 6 Елютин, 1976, с. 25.
  6. Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
  7. C. Г. Крейн. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
  8. Хотя это и не обязательно.

Литература

  • Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
  • Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
  • Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
  • Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
  • Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
  • Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
  • Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
  • Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
  • Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.


Математические основы квантовой механики Информация о

Математические основы квантовой механики

Математические основы квантовой механики
Математические основы квантовой механики

Математические основы квантовой механики Информация Видео


Математические основы квантовой механики Просмотр темы.
Математические основы квантовой механики что, Математические основы квантовой механики кто, Математические основы квантовой механики объяснение

There are excerpts from wikipedia on this article and video



Случайных Сообщений

Социальных Счетов

Facebook Twitter VK
Copyright © 2014. Поисковик