Sun . 20 Jul 2020

Логістична функція

Логістична функція або логістична крива - це загальна сигмоїдна крива у формі "S", з рівнянням:


f f | x x = = =
«L» - «1» + «+», «e», «e», «k», «k», «k» x
& # x2212;

x
0 0 | br> | ^ |
де E = природна основа логарифму, також відома як число Ейлера, xx = значення x середньої точки сигмоїди, L L = максимум кривої значення, а
k = крутизна кривої [1]
Для значень x в діапазон дійсних чисел від −∞ до + ∞, S-крива, показана праворуч, отримується з графіком f, що наближається до L як x наближається + ∞, і наближається до нуля, коли x наближається − - Функція була названа в 1844–1845 рр. П’єр Франсуа Верхульст, який вивчав його стосовно зростання населення [2] Початкова стадія зростання є приблизно експоненціальною; тоді, коли починається насичення, ріст сповільнюється, а в зрілості ріст припиняється. Логістична функція знаходить застосування в різних областях, включаючи штучні нейронні мережі, біологію, особливо екологію, біоматематику, хімію, демографію, економіку, геознання, математичну психологія, ймовірність, соціологія, політологія, лінгвістика та статистика - Зміст - 1 Математичні властивості - 11 Похідне - 12 Логічне диференціальне рівняння - 13 Ротаційна симетрія приблизно 0, ½
2 Застосування
21 В екології: моделювання приросту населення - 211 Вагома здатність змінюється за часом - 22 У статистиці та машинному навчанні - 221 Логістична регресія - 222 Нейронні мережі - 23 У медицині: моделювання зростання пухлин - 24 У хімії: моделі реакцій - 25 У фізиці: розподіл Фермі - 26 У лінгвістиці: зміна мови - 27 В економіці та соціології: дифузія інновацій - 3 Дивись також
4 Примітки
5 Посилання
6 Зовнішні посилання
Математичні властивості
Стандартна логістична функція - це логістична функція з параметрами k = 1, x0 = 0, L = 1, яка поступається в бік - | Сторінка 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 >






На практиці, в силу характеру експоненціальної функції e − x, часто достатньо для обчислення стандартної логістичної функції для x більше невеликий діапазон реальних чисел, таких як діапазон, що міститься в [−6, +6] - Похідна - Стандартна логістична функція має легко обчислену похідну:




d, d, d, d, x, x, d, x, f, f
x

=


e e

& # x2212; x x



Сторінка 1
+

e

& # x2212; x x




2












1

1
+

e

& # x2212; x x










e

& # x2212; x x


1 1 + +
e e

& # x2212; x x






= = f

x
ставка 1 1 & # x2212; f f | x x | bg | bf | fx = ^ = зліва праворуч left right = fx1-fx |
У нього також є властивість, яка


1
& # x2212;
f

x

=
f

& # x2212; x x





Таким чином, <


x
& # x21A6;
f

x

& # x2212;
1

/

2 Типова логістична функція - це дивна функція - логістичне диференціальне рівняння - Стандартна логістична функція - це рішення простого нелінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку




d, d, d, x, d, x, b, d, x, d, x, d, x, d, x, d, x, d, x, d, x, d, x, x
= f f - x x - стаття 1
& # x2212;
f

x




fx = fx1-fx

з граничною умовою f0 = 1/2 Це рівняння є суцільною версією логістичної карти. Якісну поведінку легко зрозуміти з точки зору фазова лінія: похідна є нульовою wh en функція є одиницею, а похідна позитивна для f між 0 і 1, а негативна для f вище 1 або менше 0, хоча негативні сукупності зазвичай не відповідають фізичній моделі. Це дає нестабільну рівновагу при 0 і стабільну рівновагу при 1, і, таким чином, для будь-якого значення функції, що перевищує нуль і менше одиниці, воно зростає до одиниці. Наведене рівняння можна переписати в наступних кроках:





d | d d x x |

f f | x x | = = f f
x | статтю 1 1 & # x2212; f f | x x | bf> fx = fx1-fx





d, y, d, y, d, y, d, d x


= = y y
1 1 & # x2212; y y



= y1 -y: стадіон, що склався, що склався, - це означає, що це означає, що ви шукаєте d-y y-to-x >

= = y
& # x2212;

y

2



= yy ^







d - y


d - x



& # x2212;
y
=
& # x2212;
y y
2, 2



-y = -y ^

Що є особливим випадком диференціального рівняння Бернуллі і має таке рішення: «


f f> x x = = = | e | x x | bg> b> x> b> x> b> x + c +



+ C

Вибір константи інтеграції



C C = = 1 1



надає іншу добре відому форму визначення логістичної кривої, яка увімкнена? br> = що означає, що є e e, x x?
e

x


+ 1 1


= =

1
1 1 + +
e e

& # x2212; x x






+ 1 =

Більш кількісно, як видно з аналітичного рішення, логістична крива показує раннє експоненціальне зростання негативного аргументу, яке сповільнюється до лінійного зростання нахилу 1/4 для аргументу поблизу нуль, потім наближається до одного з експоненціально розпадається розривом
Логістична функція є зворотною природною функцією logit і тому може бути використана для перетворення логарифма непарностей у ймовірність. У математичних позначеннях логістична функція іноді записується jw.org uk як expit [3] в тій же формі, що і logit Перетворення з коефіцієнта ймовірності журналу двох альтернатив також приймає форму логістичної кривої
Логістична сигмоїдна функція пов'язана з гіперболічною дотичною, Ap від



2, 2, f, f, x, x, x = 1, 1 + +, tanh, & # x2061; «



x x 2», «
», «k», « право», «або»



tanh
& # x2061;
x x

= 2 2
f f
2

x

& # x2212; сторінка 1




Останнє відношення випливає з «
»
у танах
& # x2061;

x

=



e e2 x x

& # x2212;
e e
& # x2212;
x |
e

& # x2212; x x




= =



e | x x


& # x22C5;


1 & & x2 212;

e

& # x2212;
2
x | > e

x

& # x22C5;

1 1 + +
e e

& # x2212;
2
x





= = f

2
x

& # x2212;


e e-mail & # x2212;
2
x


1 1 + +
e e

& # x2212;
2
x





= = f

2
x

& # x2212;




e

& # x2212;
2
x

+ + 1 1 & # x2212;
1

1 1 + +

e

& # x2212;
2
x





= 2

f
2

x

& # x2212; Сторінка 1


-e ^ + e ^ = cdot left1-e ^ right cdot left1 + e ^ right = f2x- = f2x- + 1-1 = 2 , f2 , x-1

Гіперболічний дотична взаємозв'язок призводить до іншої форми похідної логістичної функції:





d

d
x



f

x

=

1 4 4



sech

2


& # x2061;



x x 2






fx = ім'я оператора ^ ліворуч праворуч,
, яке пов'язує логісти c функція в логістичному розподілі - обертальна симетрія близько 0, ½ - Сума логістичної функції та її відображення щодо вертикальної осі, f −x - це | >
1

1
+

e

& # x2212; x x





+

1

1
+

e

& # x2212;

& # x2212; x x |




= = |

e

x


+ + 1 1 + +
e e

& # x2212;
x




1
+

e

& # x2212;
x




1
+

e
x x





=


2 2 + +
e e
x


+

e

& # x2212; x x



1
+

e

x

+ +
e e

& # x2212;
x


+

e

x
& # x2212; x x





=


2 2 + +
e e
x x

+

e

& # x2212; x x



2 2 +

e

x


+ +
e e &
& # x2212; x x





= 1 1

+ = + 1 + e ^ 1 + e ^ = + e ^ + e ^ + e ^ = + e ^ + e ^ = 1

Логістична функція, таким чином, ротаційно симетрична щодо точки 0, 1/2 [4]
Застосування
В екології: моделювання приросту населення
П'єр-Франсуа Верхюльст 1804 –1849
Типовим застосуванням логістичного рівняння є загальна модель приросту населення, див. Також динаміку чисельності населення, оригінальну завдяки П'єру-Франсуа Верхульсту в 1838 р., коли коефіцієнт відтворення пропорційний як наявному населенню, так і кількості наявних ресурсів, причому всі інші рівні. Рівняння Верхульста було опубліковане після того, як Верхульст прочитав «Нарис принципу Томаса Мальтуса» Верхольста популяції отримав своє логістичне рівняння для опису самоограничивающегося зростання біологічної популяції. Рівняння було відкрито в 1911 р. А. Г. Маккендріком для росту бактерій у бульйоні та експериментально випробувано за допомогою методики оцінки нелінійних параметрів [5] рівняння також іноді називали рівняння Верхульста-Перла після його повторного відкриття в 1920 році Реймоном Перлом 1879–1940 та Лоуеллом Рідом 1888–1966 з університету Джона Гопкінса [6] Інший вчений, Альфред Дж. Лотка, знову вивів рівняння в 1925 році, назвавши його законом зростання чисельності населення
Нехай частота P представляє чисельність популяції N, а замість цього t використовується час, ця модель формалізована за диференціальним рівнянням:


| >

=
r
P
& # x22C5;

1
& # x2212;


P
K | Кнопка, що має значення, | що має значення | rP cdot left1- right |, де константа r визначає швидкість зростання і K - вантажопідйомність - В рівнянні ранній, безперешкодний темп зростання моделюється за першим терміном + rP Значення швидкості r являє собою пропорційне збільшення населення P за одну одиницю часу. Пізніше, у міру зростання чисельності населення , модуль другого доданка, який розмножився - −rP2 / K, стає майже таким же великим, як і перший, оскільки деякі члени популяції P заважають eac h іншим, змагаючись за якийсь критичний ресурс, такий як їжа або житлова площа. Цей антагоністичний ефект називається вузьким місцем і моделюється значенням параметра K Конкуренція зменшує комбінований темп зростання, поки значення P не перестане рости. називається зрілістю населення Розв’язання рівняння з «

»
«P» | «0» | Що є початковою сукупністю, то, що є початковою чисельністю населення, це означає, що це означає, що це означає, що це означає, що це означає, що це означає, що це означає, що це означає, що це початкове населення K

P
0 0,

e, e, r, t, t,
,

K
+
P
0 0 | br> & # x2212; стаття 1 |




lim

t
& # x2192;
& # x221E;


P
Що означає t, що K - граничне значення P: найвище значення, що населення може досягти нескінченного часу або наблизитися до досягнення в кінцевий час Важливо підкреслити, що вантажопідйомність є асимптотичною союзник досяг незалежно від початкового значення P0> gt; 0, також у випадку, якщо P0 & gt; K
В екології види іноді називають r-стратегом або K-стратегом залежно від вибіркових процесів, які формували стратегії їх життєвої історії Вибираючи змінні розміри, щоб n вимірювало популяцію в одиницях вантажопідйомності, і τ вимірює час в одиницях 1 / r, дає безрозмірне диференціальне рівняння, що має розмір, що виводиться на d.
& # x03C4;


= = n n
1
& # x2212; n n



= n1-n

Вантажопідйомність, що змінюється у часі
Оскільки умови навколишнього середовища впливають на вантажопідйомність, як наслідок, вона може змінюватись у часі: Kt> gt; 0, що веде до наступної математичної моделі: «
», «що», «d», «p», «d» t



= = r
P
& # x22C5;

1
& # x2212;

P P
K K

t t t t t






=
r r r r r = rP cdot left1- right

Особливо важливим випадком є вантажопідйомність, яка періодично змінюється залежно від періоду T:




K

t
+ T T = = = K, K, N, T, T, N, Tнезалежно від початкового значення P0 & gt; 0, Pt буде прагнути до унікального періодичного рішення Pt, період якого T - Типове значення T - один рік: У такому випадку Kt може відображати періодичні зміни погодних умов. Іншим цікавим узагальненням є врахування, що вантажопідйомність Kt - це функція сукупності в більш ранній час, фіксуючи затримку в тому, як популяція змінює своє середовище. Це призводить до логічного рівняння затримки [7], яке має дуже багату поведінку, з бістабільністю в деякому діапазоні параметрів, як а також монотонне розпад до нуля, плавне експоненціальне зростання, пунктуаційне необмежене зростання, тобто множинні S-форми, пунктуаційний ріст або чергування на стаціонарний рівень, коливальний підхід до стаціонарного рівня, стійкі коливання, особливості кінцевого часу, а також кінцеві- загибель часу - в статистиці та машинному навчанні
Логістичні функції використовуються в декількох ролях у статистиці. Наприклад, вони є функцією накопичення розподілу логістичного сімейства розподілів, і вони вони, трохи спрощені, використовуються для моделювання шансів, коли шахіст повинен перемогти свого опонента в рейтинговій системі Elo. Більше конкретних прикладів - далі Логістичний регрес
Головна стаття: Логістична регресія
Логістичні функції використовуються в логістична регресія для моделювання того, як на ймовірність р події може впливати одна або кілька пояснювальних змінних: прикладом може бути модель, що має модель |

a + + b b x x | щоб бути встановленим
Логістична регресія та інші лінійно-лінійні моделі також часто використовуються в машинному навчанні. Узагальнення логістичної функції на декілька входів - це функція активації програмного забезпечення softmax, яка використовується при багаточленній логістичній регресії. Ще одне застосування логістичної функції є в моделі Раша, що використовується в теорії відгуку елементів Зокрема, t модель Раша формує основу для максимальної оцінки ймовірності розташування об'єктів чи осіб на континуумі на основі колекцій категоричних даних, наприклад, здібностей осіб на континуумі на основі відповідей, які були класифіковані як правильні та неправильні
Нейронні мережі
Логістичні функції часто використовуються в нейронних мережах для введення нелінійності в модель та / або для затискання сигналів у визначеному діапазоні. Популярний нейронний мережевий елемент обчислює лінійну комбінацію вхідних сигналів і застосовує обмежену логістику функція до результату; цю модель можна розглядати як "згладжений" варіант класичного порогового нейрона. Загальний вибір для функцій активації або "розсікання", що використовується для обрізання великих величин, щоб утримати реакцію нейронної мережі обмеженою [8]



g

h

=

1

1
+
e e

& # x2212;
2
& # x03B2; h h | >



що є логістичною функцією. Ці взаємозв'язки призводять до спрощеного впровадження штучних нейронних мереж із штучними нейронами rks із зворотним розмноженням [9]
Логістична функція сама по собі є похідною від іншої запропонованої функції активації, softplus. У медицині: моделювання росту пухлин
Див. також: Крива Гомперца § Зростання пухлин
Ще одне застосування логістичної кривої - в медицині, де логістичне диференціальне рівняння використовується для моделювання росту пухлин. Це застосування можна вважати розширенням вищезазначеного використання в рамках екології. Див. Також Узагальнену логістичну криву, що дозволяє отримати більше параметри Позначаючи з Xt розмір пухлини в момент часу t, її динаміку регулюють:




X

& # x2032;


=
r


1 & & x2212;

X
K



| X


= r left1- rightX
той тип, який має тип:




X X> & # x2032;


= = F


X


X,

F
& # x2032;


X X
& # x2264; Сторінка 0


= F leftX rightX, F ^ X leq 0, - це FX, де FX коефіцієнт проліферації пухлини
Якщо хіміотерапію розпочато з ефектом зруйнування журналу, рівняння може бути переглянуто, щоб воно було переглянуте, щоб воно було переглянуте, щоб воно було переглянуте, щоб воно було переглянуте, щоб було оновлено # x2032;


=
r

1
& # x2212;

X
K




X
& # x2212;
c

t

X


=rleft1- ightX-ctX

,
where ct is the therapy-induced death rate In the idealized case of very long therapy, ct can be modeled as a periodic function of period T or in case of continuous infusion therapy as a constant function, and one has that





1
T



&#x222B;

0


T



c

t


d
t

&gt;
r
&#x2192;

lim

t
&#x2192;
+
&#x221E;


x

t

=
0


int _^&gt;r ightarrow lim _xt=0

ie if the average therapy-induced death rate is greater than the baseline proliferation rate then there is the eradication of the disease Of course, this is an oversimplified model of both the growth and the therapy eg it does not take into account the phenomenon of clonal resistance
In chemistry: reaction models
The concentration of reactants and products in autocatalytic reactions follow the logistic function
In physics: Fermi distribution
The logistic function determines the statistical distribution of fermions over the energy states of a system in thermal equilibrium In particular, it is the distribution of the probabilities that each possible energy level is occupied by a fermion, according to Fermi–Dirac statistics
In linguistics: language change
In linguistics, the logistic function can be used to model language change:[10] an innovation that is at first marginal begins to spread more quickly with time, and then m ore slowly as it becomes more universally adopted
In economics and sociology: diffusion of innovations
The logistic function can be used to illustrate the progress of the diffusion of an innovation through its life cycle
In The Laws of Imitation 1890, Gabriel Tarde describes the rise and spread of new ideas through imitative chains In particular, Tarde identifies three main stages through which innovations spread: the first one corresponds to the difficult beginnings, during which the idea has to struggle within a hostile environment full of opposing habits and beliefs; the second one corresponds to the properly exponential take-off of the idea, with



f

x

=

2

x






; finally, the third stage is logarithmic, with



f

x

=
log
&#x2061;

x





, and corresponds to the time when the impulse of the idea gradually slows down while, simultaneously new opponent ideas appear The ensuing situation halts or stabilizes the progress of the innovation, which approaches an asymptote
In the history of economy, when new products are introduced there is an intense amount of research and development which leads to dramatic improvements in quality and reductions in cost This leads to a period of rapid industry growth Some of the more famous examples are: railroads, incandescent light bulbs, electrification, cars and air travel Eventually, dramatic improvement and cost reduction opportunities are exhausted, the product or process are in widespread use with few remaining potential new customers, and mark ets become saturated
Logistic analysis was used in papers by several researchers at the International Institute of Applied Systems Analysis IIASA These papers deal with the diffusion of various innovations, infrastructures and energy source substitutions and the role of work in the economy as well as with the long economic cycle Long economic cycles were investigated by Robert Ayres 1989[11] Cesare Marchetti published on long economic cycles and on diffusion of innovations[12][13] Arnulf Grübler’s book 1990 gives a detailed account of the diffusion of infrastructures including canals, railroads, highways and airlines, showing that their diffusion followed logistic shaped curves[14]
Carlota Perez used a logistic curve to illustrate the long Kondratiev business cycle with the following labels: beginning of a technological era as irruption, the ascent as frenzy, the rapid build out as synergy and the completion as maturity[15]
See also
Diffusion of innovations
Generalise d logistic curve
Gompertz curve
Heaviside step function
Hubbert curve
Logistic distribution
Logistic map
Logistic regression
Logistic smooth-transmission model
Logit
Log-likelihood ratio
Malthusian growth model
Population dynamics
r/K selection theory
Shifted Gompertz distribution
Tipping point sociology
Rectifier neural networks
Notes
^ Verhulst, Pierre-François 1838 "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" PDF Correspondance mathématique et physique 10: 113–121 Retrieved 3 December 2014 
^ Verhulst, Pierre-François 1845 "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population" [Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase] Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: 1–42 Retrieved 2013-02-18 
^ expit documentation for R's clusterPower package
^ Raul Rojas Neural Networks - A Systematic Introduction PDF Retri eved 15 October 2016 
^ A G McKendricka; M Kesava Paia1 January 1912 "XLV—The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study" Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 31: 649–653 doi:101017/S0370164600025426 
^ Raymond Pearl and Lowell Reed June 1920 "On the Rate of Growth of the Population of the United States" PDF Proc of the National Academy of Sciences 6 6 p 275 
^ Yukalov, V I; Yukalova, E P; Sornette, D 2009 "Punctuated evolution due to delayed carrying capacity" Physica D: Nonlinear Phenomena 238 17: 1752 doi:101016/jphysd200905011 
^ Gershenfeld 1999, p150
^ LeCun, Y; Bottou, L; Orr, G; Muller, K 1998 Orr, G; Muller, K, eds Efficient BackProp PDF Neural Networks: Tricks of the trade Springer ISBN 3-540-65311-2 
^ Bod, Hay, Jennedy eds 2003, pp 147–156
^ Ayres, Robert 1989 "Technological Transformations and Long Waves" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1996 "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1988 "Kondratiev Revisited-After One Cycle" PDF 
^ Grübler, Arnulf 1990 The Rise and Fall of Infrastructures: Dynamics of Evolution and Technological Change in Transport PDF Heidelberg and New York: Physica-Verlag 
^ Perez, Carlota 2002 Technological Revolutions and Financial Capital: The Dynamics of Bubbles and Golden Ages UK: Edward Elgar Publishing Limited ISBN 1-84376-331-1 
References
Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer 2003 Probabilistic Linguistics Cambridge, Massachusetts: MIT Press ISBN 0-262-52338-8 
Gershenfeld, Neil A 1999 The Nature of Mathematical Modeling Cambridge, UK: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-57095-4 
Kingsland, Sharon E 1995 Modeling nature: episodes in the history of population ecology Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-43728-0 
Weisstein, Eric W "Logistic Equation" MathWorld 
External links
LJ Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve, accessed 2009-09-12
http://lunacasusfedu/~mbrannic/files/regression/Logistichtml
Weisstein, Eric W "Sigmoid Function" MathWorld 
Online experiments with JSXGraph
Esses are everywhere
Seeing the s-curve is everything


Logistic function

Random Posts

Amorphous metal

Amorphous metal

An amorphous metal also known as metallic glass or glassy metal is a solid metallic material, usuall...
Arthur Lake (bishop)

Arthur Lake (bishop)

Arthur Lake September 1569 – 4 May 1626 was Bishop of Bath and Wells and a translator of the King Ja...
John Hawkins (author)

John Hawkins (author)

Sir John Hawkins 29 March 1719 – 21 May 1789 was an English author and friend of Dr Samuel Johnson a...
McDonnell Douglas MD-12

McDonnell Douglas MD-12

The McDonnell Douglas MD-12 was an aircraft design study undertaken by the McDonnell Douglas company...