Sat . 20 Jul 2020

Lojistik fonksiyonu

Bir lojistik fonksiyon veya lojistik eğri, denklemli ortak bir "S" şekli sigmoid eğrisidir:












br>
L

1


e

& # x2212;
k

x
& # x2212;



0








^

burada e = euler sayısı olarak da bilinen doğal logaritma tabanı,
x0 = sigmoidin orta noktasının x değeri,
L = eğrinin maksimum değeri değer ve
k = eğrinin dikliği [1]
içindeki x değerleri için numbers∞ ila + ∞ arasında gerçek sayıların aralığı, sağda gösterilen S eğrisi x'e + yaklaşırken L yaklaşan f grafiği ile x'e yaklaşırken x yaklaşan f grafiği ile elde edilir. 1844–1845'te, nüfus artışı ile ilgili olarak inceleyen Pierre François Verhulst [2] Büyümenin ilk aşaması yaklaşık katlanarak; sonra, doygunluk başladığında, büyüme yavaşlar ve olgunlukta büyüme durur. - Lojistik fonksiyonu yapay sinir ağları, özellikle ekoloji, biyoloji, biyomatematik, kimya, demografi, ekonomi, jeoloji, matematiksel gibi çeşitli alanlarda uygulamalar bulur. psikoloji, olasılık, sosyoloji, siyaset bilimi, dil bilimi ve istatistik
İçindekiler
1 Matematiksel özellikler
11 Türev
12 Lojistik diferansiyel denklem
13 0, ½
2 dönme simetrisi
21 Ekolojide: Nüfus artışının modellenmesi
211 Zamanında değişen taşıma kapasitesi
22 İstatistik ve makine öğrenimi
221 Lojistik regresyon
222 Sinir ağları
23 Tıpta: Büyümenin modellenmesi tümörlerde
24 Kimyada reaksiyon modelleri
25 Fizikte: Fermi dağılımı
26 Dilde: dil değişimi
27 Ekonomi ve sosyolojide: yeniliklerin yayılması
3 Ayrıca bkz.
4 Notlar
5 Referanslar
6 Dış linkler
Matematiksel özellikler
Standart lojistik fonksiyonu, k = 1, x0 = 0, L = 1 parametrelerine sahip olan lojistik fonksiyondur.



f

x

=


1
1 1
+ e

& # x2212;
x








Uygulamada, üstel fonksiyonun − x üstel fonksiyonunun doğası gereği, x için standart lojistik fonksiyonunun hesaplanması genellikle yeterlidir. [−6, +6] 'da bulunan bir aralık gibi gerçek sayıların küçük bir aralığı

Türev
Standart lojistik işlevi kolayca hesaplanan bir türev içerir:





d

d
x


f




=

e &

# # x2212;





1
+

e

# # x2212;
x



2




= =

1 - 1 1
+

e

& # x2212;










e

# # x2212;
x


1


e

& # x2212;





= =
f

x


1
& # x2212;



x



fx = ^ = left right left right = fx1-fx

Ayrıca,



1
& # x2212;
f

x

=


# # x2212;
x



Bu,



x
& # x21A6;


x

& # x2212;
1

/

2




garip bir fonksiyondur
Lojistik diferansiyel denklem
Standart lojistik fonksiyonu basit birinci mertebeden lineer olmayan basit adi diferansiyel denklemin çözümü




d

d
x



f
x


=
f

x

1 & # x2212;


x




fx = fx1-fx

sınır koşulu f0 = 1/2 Bu denklem, lojistik haritanın sürekli versiyonudur
Nitel davranış, kolay bir şekilde anlaşılır. faz çizgisi: türev boş en fonksiyonu birimdir ve türev 0 ile 1 arasında f için pozitif, negatif popülasyonlar genel olarak fiziksel bir modele uymuyor olsa da 1'in üzerinde veya 0'dan f için negatif olur. Bu, 0'da kararsız bir denge sağlar ve 0'da stabil bir denge sağlar. 1 ve dolayısıyla sıfırdan büyük ve birimden küçük herhangi bir işlev değeri için birim birimine büyür
Yukarıdaki eşitlik aşağıdaki adımlarda yeniden yazılabilir:





d

d
x

f

x

=
f

x


1
& # x2212;


x



fx = fx1-fx Ücretsiz










x



=

1 1 & # x2212;



= y1 -y






d
y

d
x



=
y
& # x2212;



2



= yy ^


|

d
y

d
x



& # x2212;
y
=
& # x2212;



2



-y = -y ^

Özel bir durum Bernoulli diferansiyel denkleminin tanımı ve aşağıdaki çözümü içerir:





x

=



e

x


e

x

+
C





+ C

Entegrasyon sabitini seçme



C
=
1




lojistik eğrinin tanımının diğer iyi bilinen halini verir



f

x

=


e

x







x

+
1





1

1
+

e

# # x2212;





>
+ 1 =

Daha nicel olarak, analitik çözümden görülebileceği gibi, lojistik eğrisi negatif argüman için erken üssel büyüme gösterir; bu, yakın bir argüman için eğim 1/4'ün doğrusal büyümesine yavaşlar. sıfır, sonra üstel olarak azalan bir boşluk ile birine yaklaşır
Lojistik fonksiyonu, doğal logit fonksiyonunun tersidir ve olasılık oranının logaritmasını bir olasılık haline dönüştürmek için kullanılabilir. Matematiksel gösterimde, lojistik fonksiyon bazen yazılır. en expit [3] logit ile aynı formda İki alternatifin log-olasılık oranından dönüşümü aynı zamanda bir lojistik eğri biçimini alır.
Logistic sigmoid fonksiyonu hiperbolik tanjant ile ilgilidir, Ap by



2

f

x

=
1
+
tanh
& # x2061;




x
2









tanh
& # x2061;

x

=
2

f

2

x

& # x2212;
1



İkinci ilişki aşağıdakilerden oluşur



tanh
& # x2061;

x

=



e

x

& # x2212;

e

& # x2212;




e

x

+

e

& # x2212;





=



e

x

& # x22C5;

1 1 & # x2 212;

e &
& # x2212;
2
x





e

x

& # x22C5;


1
+
e &
& # x2212;
2
x




= =
f 2
2
x

& # x2212;


e

& # x2212;
2
x


1
+ e

& # x2212;
2
x





=


2
x

& # x2212;



e

& # x2212;
2
x

+
1
& # x2212;
1


1
+



# # x2212; 2






= 2



2

x

& # x2212;
1

-e ^ + e ^ = cdot left1-e ^ right cdot left1 + e ^ right = f2x- = f2x- + 1-1 = 2 , f2 , x-1

Hiperbolik teğetsel ilişki, lojistik fonksiyonunun türevi için başka bir forma yol açar:











| >


x

=

1 1 - 4

sech

2

& # x2061;



x
2





fx = operatorname ^ left right

, logisti bağlayan
Lojistik fonksiyonuna c fonksiyonu - Dönel simetri yaklaşık 0, ½
Lojistik fonksiyonunun toplamı ve düşey eksene yansıması, f −x is





1

1
+


# # x2212;





+

1
1



e #
& # x2212;


& # x2212;






=



1
+

e

x




1
+

e #
& # x2212;
x



1
+

e #
& # x2212;
x



1

e

x





=


2
+

e

x


+

e # & # x2212;



1
+

e

x

+

e

& # x2212;
x


+

e

x & # x2212;





=



2
+
e

x


+

e

# # x2212;
x


2
+

e

x

+

e

& # x2212;
x





=
1

+ = + 1 + e ^ 1 + e ^ = + e ^ + e ^ + e ^ = + e ^ + e ^ = 1

Lojistik fonksiyonu bu nedenle 0, 1/2 [4] noktası etrafında dönme açısından simetriktir.


Ekoloji alanında: populasyon büyümesini modelleme
Pierre-François Verhulst 1804 –1849
Lojistik denklemin tipik bir uygulaması, nüfus artışının ortak bir modelidir, ayrıca popülasyon dinamikleri, orijinal Yine, 1838'deki Pierre-François Verhulst yüzünden, çoğalma oranının hem mevcut nüfusa hem de mevcut kaynaklara oranla orantılı olduğu, diğerlerinin eşit olduğu Verhulst denklemi Verhulst, Thomas Malthus'un İlke Üzerine Bir Denemesini okuduktan sonra yayınlandı. Nüfusun Verhulst, biyolojik popülasyonun kendi kendini sınırlayan büyümesini tanımlamak için lojistik denklemini türetmiştir. Denklem, 1911'de AG McKendrick tarafından et suyunda bakteri üremesi için yeniden keşfedilmiş ve doğrusal olmayan parametre tahmini için bir teknik kullanılarak deneysel olarak test edilmiştir [5] Ayrıca 1920 yılında Johns Hopkins Üniversitesi'nden Raymond Pearl 1879-1940 ve Lowell Reed 1888-1966 tarafından yeniden keşfedildikten sonra Verhulst-Pearl denklemi olarak da adlandırılır. [6] Bir başka bilim adamı, Alfred J Lotka, 1925'te denklemi türkiye’den çıkardı. Nüfusunun artması
P'nin popülasyon büyüklüğünü temsil etmesine izin vermek, N ekolojide sıkça kullanılır ve zamanını temsil eder; diferansiyel denklem ile:




d
P

d
t



=


P # & # x22C5;


1
& # x2212;


P
K





= rP cdot left1- right

r sabitinin büyüme hızını ve K'yi tanımladığı yerde taşıma kapasitesi
Denklemde, erken, engelsiz büyüme oranı ilk dönem + rP ile modellenmiştir. r oranının değeri, popülasyon büyüdükçe, bir zaman diliminde P popülasyonunun oransal artışını temsil eder. , ikinci terimin −rP2 / K olan modülü, N popülasyonunun bazı üyeleri eac ile etkileşime girdiğinden neredeyse ilk olana kadar büyür. h Diğer yiyecek veya yaşam alanı gibi bazı kritik kaynaklar için rekabet ederek Bu rakip etki, darboğaz olarak adlandırılır ve K parametresinin değeri ile modellenir. Rekabet, P'nin değeri büyümenin durmasına kadar kombine büyüme oranını azaltır. popülasyonun olgunluğu olarak adlandırılır








0






ilk nüfus olan



P

t

=



K

P

0

e

r
t



K
+
P

0



e

r
t


& # x2212;
1





e ^ lefte ^ -1 right

nerede



lim

t # & # x2192;
& # x221E;


P




= K

Pt = K

K'nin P'nin sınır değeri olduğunu söyleyiniz: popülasyon sınırsız bir sürede ulaşabilir veya sınırlı bir sürede ulaşmaya yaklaşabilir. Taşıma kapasitesinin asimptotik olduğunu vurgulamak önemlidir. müttefiki P0> gt başlangıç değerinden bağımsız olarak ulaştı; 0, P0 & gt; K
Ekolojide, türler bazen yaşam tarihi stratejilerini şekillendiren seçici süreçlere bağlı olarak r-stratejist veya K-stratejist olarak adlandırılır. Değişken boyutların seçilmesi ve n'nin popülasyonu taşıma kapasitesi cinsinden ölçmesi; 1 / r biriminde zamanı ölçer, boyutsuz diferansiyel denklemini verir







d
n



& # x03C4;


=
n

1
& # x2212;
n



= n1-n

Zamanla değişen taşıma kapasitesi
Çevresel koşullar taşıma kapasitesini etkilediği için zamanla değişebilir: Kt & gt; 0, aşağıdaki matematiksel modele öncülük eder:




d
P


d
t



=


& # x22C5;


1
& # x2212;


P

K

t





= rP cdot left1- right

Özellikle önemli bir durum, T dönemine göre düzenli aralıklarla değişen taşıma kapasitesidir:



K

t
+



=






Bu durumda gösterilebilir,P0> gt başlangıç değerinden bağımsız olarak; 0, Pt, periyodu T olan benzersiz bir periyodik çözüm Pt'ye eğilim gösterir.




T, tipik bir T değeri bir yıldır: Bu durumda Kt, hava koşullarının periyodik değişkenlerini yansıtabilir. taşıma kapasitesi Kt, popülasyonun ortamını değiştirme şeklindeki bir gecikmeyi yakalayan, daha önceki bir zamanda popülasyonun bir fonksiyonudur. Bu, bazı parametre aralıklarında bistabilite ile çok zengin bir davranışa sahip olan lojistik gecikme denklemine yol açar. monoton bir çürümenin yanı sıra, yumuşak üstel büyüme, noktalanmış sınırsız büyüme, yani çoklu S şekilleri, durgun büyüme veya durağan seviyeye geçiş, durağan seviyeye salınımlı yaklaşım, sürdürülebilir salınımlar, sonlu zaman tekillikleri ve sonlu zaman ölümü
İstatistik ve makina öğreniminde
Lojistik fonksiyonlar istatistikte çeşitli rollerde kullanılmaktadır. Örneğin, lojistik dağıtım ailesinin kümülatif dağılım işlevidir ve bunlar biraz basitleştirilmiş, bir satranç oyuncunun Elo reyting sisteminde rakibini yenmesi ihtimalini modellemek için kullanılıyor. Şimdi daha spesifik örnekler takip ediyor
Lojistik regresyon
Ana makale: Lojistik regresyon
Lojistik fonksiyonları Bir olayın p olasılığının bir veya daha fazla açıklayıcı değişkenden nasıl etkilenebileceğini modellemeye yönelik lojistik regresyon: bir örnek, modelde olacaktır.



p
=
P




b
x



burada x açıklayıcı değişkendir ve a ve b model parametrelerdir eklenecek
Lojistik regresyon ve diğer log-lineer modeller aynı zamanda makine öğreniminde de yaygın olarak kullanılmaktadır. Lojistik fonksiyonun çoklu girişlere genellemesi, multinomlu lojistik regresyonda kullanılan softmax aktivasyon fonksiyonudur. Rasch modelinde, madde cevabı teorisinde kullanılan Rasch modeli, kategorik verilerin toplanmasına dayanarak, bir nesnenin veya kişilerin bir devamlılık üzerindeki konumlarının maksimum olasılık tahmini için bir temeli oluşturur; örneğin, doğru ve yanlış olarak kategorize edilmiş cevaplara dayanarak, bir devamlılık üzerindeki kişilerin yetenekleri. > Sinir ağları
Lojistik fonksiyonlar, sinir ağlarında, modelde doğrusal olmayanlığı tanıtmak ve / veya sinyalleri belirtilen bir aralığa bağlamak için kullanılır. Popüler bir sinir ağı elemanı, giriş sinyallerinin doğrusal bir kombinasyonunu hesaplar ve sınırlı bir lojistik uygular. sonuç işlevi; Bu model, klasik eşik nöronun "düzeltilmiş" bir çeşidi olarak görülebilir. Nötr ağının tepkisini korumak için büyük büyüklükler için klipslemek için kullanılan aktivasyon veya "ezme" işlevleri için ortak bir seçenek [8];



g

h

=

1 1 - 1 1 +

e

& # x2212;
2
& # x03B2;





Lojistik



Bu ilişkiler yapay sinir ağları ile yapay sinir ağlarının basitleştirilmiş uygulamalarına yol açar. Uygulayıcılar, kökeni antisimetrik olan sigmoidal fonksiyonların, örneğin hiperbolik tanjant gibi netwo antrenman yaparken daha hızlı yakınsamaya yol açtığı konusunda uyarırlar. geri yayılım ile rks [9]
Lojistik fonksiyonu, önerilen başka bir aktivasyon fonksiyonunun türevidir, softplus
Tıpta: tümörlerin büyümesinin modellenmesi
Ayrıca bakınız: Gompertz eğrisi § Tümörlerin büyümesi
Lojistik eğrinin bir başka uygulaması, tümörlerin büyümesini modellemek için lojistik diferansiyel denklemin kullanıldığı tıp alanındadır. Bu uygulama, ekoloji çerçevesinde yukarıda belirtilen kullanımın bir uzantısı olarak kabul edilebilir. parametreler Xt ile t'yi belirten tümörün boyutunu belirtir, dinamikleri yönetilir:




X

& # x2032;


=


1 1 & # x2212;


X
K




X


= r left1- rightX






X

& # x2032;


=
F


X

X

F

# # x2032;



X

& # x2264;
0


= F leftX rightX, F ^ X leq 0

FX nerede Tümörün proliferasyon hızı
Eğer bir kemoterapiye log-kill etkisi ile başlanırsa, denklemin revize edilmesi için




X

# x2032;


=


1 & # x2212;


X
K




X
& # x2212;
c

t

X


=rleft1- ightX-ctX

,
where ct is the therapy-induced death rate In the idealized case of very long therapy, ct can be modeled as a periodic function of period T or in case of continuous infusion therapy as a constant function, and one has that





1
T



∫

0


T



c

t


d
t

>
r
→

lim

t
→
+
∞


x

t

=
0


int _^>r ightarrow lim _xt=0

ie if the average therapy-induced death rate is greater than the baseline proliferation rate then there is the eradication of the disease Of course, this is an oversimplified model of both the growth and the therapy eg it does not take into account the phenomenon of clonal resistance
In chemistry: reaction models
The concentration of reactants and products in autocatalytic reactions follow the logistic function
In physics: Fermi distribution
The logistic function determines the statistical distribution of fermions over the energy states of a system in thermal equilibrium In particular, it is the distribution of the probabilities that each possible energy level is occupied by a fermion, according to Fermi–Dirac statistics
In linguistics: language change
In linguistics, the logistic function can be used to model language change:[10] an innovation that is at first marginal begins to spread more quickly with time, and then m ore slowly as it becomes more universally adopted
In economics and sociology: diffusion of innovations
The logistic function can be used to illustrate the progress of the diffusion of an innovation through its life cycle
In The Laws of Imitation 1890, Gabriel Tarde describes the rise and spread of new ideas through imitative chains In particular, Tarde identifies three main stages through which innovations spread: the first one corresponds to the difficult beginnings, during which the idea has to struggle within a hostile environment full of opposing habits and beliefs; the second one corresponds to the properly exponential take-off of the idea, with



f

x

=

2

x






; finally, the third stage is logarithmic, with



f

x

=
log
⁡

x





, and corresponds to the time when the impulse of the idea gradually slows down while, simultaneously new opponent ideas appear The ensuing situation halts or stabilizes the progress of the innovation, which approaches an asymptote
In the history of economy, when new products are introduced there is an intense amount of research and development which leads to dramatic improvements in quality and reductions in cost This leads to a period of rapid industry growth Some of the more famous examples are: railroads, incandescent light bulbs, electrification, cars and air travel Eventually, dramatic improvement and cost reduction opportunities are exhausted, the product or process are in widespread use with few remaining potential new customers, and mark ets become saturated
Logistic analysis was used in papers by several researchers at the International Institute of Applied Systems Analysis IIASA These papers deal with the diffusion of various innovations, infrastructures and energy source substitutions and the role of work in the economy as well as with the long economic cycle Long economic cycles were investigated by Robert Ayres 1989[11] Cesare Marchetti published on long economic cycles and on diffusion of innovations[12][13] Arnulf Grübler’s book 1990 gives a detailed account of the diffusion of infrastructures including canals, railroads, highways and airlines, showing that their diffusion followed logistic shaped curves[14]
Carlota Perez used a logistic curve to illustrate the long Kondratiev business cycle with the following labels: beginning of a technological era as irruption, the ascent as frenzy, the rapid build out as synergy and the completion as maturity[15]
See also
Diffusion of innovations
Generalise d logistic curve
Gompertz curve
Heaviside step function
Hubbert curve
Logistic distribution
Logistic map
Logistic regression
Logistic smooth-transmission model
Logit
Log-likelihood ratio
Malthusian growth model
Population dynamics
r/K selection theory
Shifted Gompertz distribution
Tipping point sociology
Rectifier neural networks
Notes
^ Verhulst, Pierre-François 1838 "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" PDF Correspondance mathématique et physique 10: 113–121 Retrieved 3 December 2014 
^ Verhulst, Pierre-François 1845 "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population" [Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase] Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: 1–42 Retrieved 2013-02-18 
^ expit documentation for R's clusterPower package
^ Raul Rojas Neural Networks - A Systematic Introduction PDF Retri eved 15 October 2016 
^ A G McKendricka; M Kesava Paia1 January 1912 "XLV—The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study" Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 31: 649–653 doi:101017/S0370164600025426 
^ Raymond Pearl and Lowell Reed June 1920 "On the Rate of Growth of the Population of the United States" PDF Proc of the National Academy of Sciences 6 6 p 275 
^ Yukalov, V I; Yukalova, E P; Sornette, D 2009 "Punctuated evolution due to delayed carrying capacity" Physica D: Nonlinear Phenomena 238 17: 1752 doi:101016/jphysd200905011 
^ Gershenfeld 1999, p150
^ LeCun, Y; Bottou, L; Orr, G; Muller, K 1998 Orr, G; Muller, K, eds Efficient BackProp PDF Neural Networks: Tricks of the trade Springer ISBN 3-540-65311-2 
^ Bod, Hay, Jennedy eds 2003, pp 147–156
^ Ayres, Robert 1989 "Technological Transformations and Long Waves" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1996 "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1988 "Kondratiev Revisited-After One Cycle" PDF 
^ Grübler, Arnulf 1990 The Rise and Fall of Infrastructures: Dynamics of Evolution and Technological Change in Transport PDF Heidelberg and New York: Physica-Verlag 
^ Perez, Carlota 2002 Technological Revolutions and Financial Capital: The Dynamics of Bubbles and Golden Ages UK: Edward Elgar Publishing Limited ISBN 1-84376-331-1 
References
Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer 2003 Probabilistic Linguistics Cambridge, Massachusetts: MIT Press ISBN 0-262-52338-8 
Gershenfeld, Neil A 1999 The Nature of Mathematical Modeling Cambridge, UK: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-57095-4 
Kingsland, Sharon E 1995 Modeling nature: episodes in the history of population ecology Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-43728-0 
Weisstein, Eric W "Logistic Equation" MathWorld 
External links
LJ Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve, accessed 2009-09-12
http://lunacasusfedu/~mbrannic/files/regression/Logistichtml
Weisstein, Eric W "Sigmoid Function" MathWorld 
Online experiments with JSXGraph
Esses are everywhere
Seeing the s-curve is everything


Logistic function

Random Posts

Ralph Neville, 2nd Earl of Westmorland

Ralph Neville, 2nd Earl of Westmorland

Ralph Neville, 2nd Earl of Westmorland 4 April 1406 – 3 November 1484 was an English peer Content...
Mamprusi language

Mamprusi language

The Mamprusi language, Mampruli Mampelle, Ŋmampulli, is a Gur language spoken in northern Ghana by t...
Singapore Changi Airport

Singapore Changi Airport

Singapore Changi Airport IATA: SIN, ICAO: WSSS, or simply Changi Airport, is the primary civili...
Christian Siriano

Christian Siriano

Christian Siriano born November 18, 1985 is an American fashion designer and member of the Council o...