Thu . 20 Jul 2020

Логистическая функция

Логистическая функция или логистическая кривая - это сигмовидная кривая в форме буквы "S", с уравнением: br>
L

1
+

e


& # x2212;
k

x
& # x2212;

x

0








^

где
e = натуральное логарифмическое основание, также известное как число Эйлера,
x0 = значение x средней точки сигмоиды,
L = максимум кривой значение, а
k = крутизна кривой [1]
Для значений х в диапазон действительных чисел от −∞ до + ∞, S-кривая, показанная справа, получается с графиком f, приближающимся к L, когда x приближается к + ∞, и приближающимся к нулю, когда x приближается к −∞. Функция была названа в 1844–1845 Пьер Франсуа Верхульст, который изучал его в связи с ростом населения [2]. Начальная стадия роста является приблизительно экспоненциальной; затем, когда начинается насыщение, рост замедляется, а в зрелости рост останавливается. Логистическая функция находит применение в ряде областей, включая искусственные нейронные сети, биологию, особенно экологию, биоматематику, химию, демографию, экономику, геонауку, математику. психология, вероятность, социология, политология, лингвистика и статистика
Содержание
1 Математические свойства
11 Производные
12 Логистические дифференциальные уравнения
13 Вращательная симметрия около 0, ½
2 Приложения
21 В экологии: моделирование роста населения
211 Изменяющаяся во времени пропускная способность
22 В статистике и машинном обучении
221 Логистическая регрессия
222 Нейронные сети
23 В медицине: моделирование роста опухолей
24 В химии: модели реакций
25 В физике: распределение Ферми
26 В лингвистике: изменение языка
27 В экономике и социологии: распространение инноваций
3 См. также
4 Заметки
5 Справки
6 Внешние ссылки
Математические свойства
Стандартной логистической функцией является логистическая функция с параметрами k = 1, x0 = 0, L = 1, которая приводит к получению
x

=


1

1
+



& # x2212;
x








На практике из-за природы экспоненциальной функции e − x часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для x over небольшой диапазон действительных чисел, например диапазон, содержащийся в [−6, +6]
Производная
Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную:





d

d
x


f

x

=


e

& # x2212;
x




1
+



& # x2212;
x




2





=



1

1
+

e

& # x2212;
x










e

& # x2212;
x


1
+

e

& # x2212;
x






=
f

x


1
& # x2212;
f

x



fx = ^ = left right left right = fx1-fx

У него также есть свойство, которое


1
& # x2212;
f

x

=
f

& # x2212;
x




Таким образом,



x
& # x21A6;
f

x

& # x2212;
1



2




- нечетная функция
Логистическое дифференциальное уравнение
Стандартная логистическая функция - решение простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка


















=
f
x


1
& # x2212;
f

x




fx = fx1-fx

с граничным условием f0 = 1/2 Это уравнение является непрерывной версией логистической карты. Качественное поведение легко понять с точки зрения фазовая линия: производная равна нулю Функция en является единицей, а производная положительна для f между 0 и 1, и отрицательна для f выше 1 или меньше 0, хотя отрицательные совокупности обычно не соответствуют физической модели. Это приводит к неустойчивому равновесию в 0 и устойчивому равновесию в 1, и, таким образом, для любого значения функции больше нуля и меньше единицы оно увеличивается до единицы. Приведенное выше уравнение можно переписать в следующих шагах:




<
















x

1
& # x2212;
f

x



fx = fx1-fx










d
x



=
y

1
& # x2212;
y



= y1 -y






d
y

d
x



=
y
& # x2212;

y

2




= yy ^






d
y

d
x



& # x2212;
y
=
& # x2212;

y

2




-y = -y ^

Какой особый случай дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:



x

=



е

х



е
х










+ C

Выбор постоянной интегрирования



C
=
1




дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой.




x

=


e

x




e

x

+
1





1

1
+



& # x2212;
x






+ 1 =

Более количественно, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост отрицательного аргумента, который замедляется до линейного роста наклона 1/4 для аргумента вблизи ноль, затем приближается к единице с экспоненциально убывающим промежутком. Логистическая функция является обратной к натуральной логит-функции и поэтому может использоваться для преобразования логарифма шансов в вероятность. В математической записи логистическая функция иногда записывается ru как expit [3] в той же форме, что и логит Преобразование из логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой
Логистическая сигмоидная функция связана с гиперболическим тангенсом, Ap by



2



x

=
1
+ tanh
& # x2061;



x
2







или



tanh
& # x2061;

x

=
2

f

2

x

& # x2212;
1



Последнее соотношение следует из



tanh
& # x2061;

x

=



e
x


& # x2212;

e

& # x2212;
x



e

x

+

e

& # x2212;
x




=




e

x


& # x22C5;


1
& # x2 212;

e

& # x2212;
2
x






e

x

& # x22C5;


1
+

e

& # x2212;
2
x










2
x

& # x2212;


e

& # x2212;
2
x


1
+

e

& # x2212;
2
x





=
f

2
x

& # x2212;




e

& # x2212;
2
x


+
1
& # x2212;
1


1


e

& # x2212;
2
x





= 2



2
x

& # x2212;
1

-e ^ + e ^ = cdot left1-e ^ right cdot left1 + e ^ right = f2x- = f2x- + 1-1 = 2 , f2 , x-1

Гиперболический касательные отношения приводят к другой форме для производной логистической функции:



d

d
x





x

=

1
4


sech

2


& # x2061;



x
2






fx = operatorname ^ left right

, которая связывает логистику c функция в логистическом распределении
Вращательная симметрия около 0, ½
Сумма логистической функции и ее отражение относительно вертикальной оси, f −x,





1

1
+



& # x2212;
x




+

1

1


e

& # x2212;

& # x2212;
x





= 1
+ 1
+

e

x




1
+

e

& # x2212;
x




1
+
e

& # x2212;
x



1
+



x





=


2
+

e

x




e

& # x2212;
x



1
+

e
x


+

e

& # x2212;
x






x
& # x2212;
x




=



2
+



x







& # x2212;
x



2
+

e
x




e

& # x2212;
x





=
1


+ = + 1 + e ^ 1 + e ^ = + e ^ + e ^ + e ^ = + e ^ + e ^ = 1

Таким образом, логистическая функция вращательно симметрична относительно точки 0, 1/2 [4]
Приложения
Экология: моделирование роста населения
Пьер-Франсуа Верхульст 1804 –1849
Типичное применение логистического уравнения - общая модель роста населения, см. Также динамику населения, оригинал. Это связано с Пьером-Франсуа Верхульстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях. Уравнение Верхульста было опубликовано после того, как Верхульст прочитал «Эссе о принципе» Томаса Мальтуса. of Population Verhulst вывел свое логистическое уравнение для описания самоограничивающегося роста биологической популяции. Это уравнение было вновь открыто в 1911 г. А. Г. Маккендриком для роста бактерий в бульоне и экспериментально проверено с использованием метода нелинейной оценки параметров [5]. также иногда называемое уравнением Верхульста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Рэймондом Перлом в 1879–1940 годах и Лоуэллом Ридом в 1888–1966 годах из Университета Джона Хопкинса [6] Другой ученый, Альфред Дж. Лотка, снова вывел уравнение в 1925 году, назвав его законом роста популяции
Позволяя P представлять размер популяции N часто используется в экологии, а t представляет время, эта модель формализована по дифференциальному уравнению:














=
r
P
& # x22C5;


1
& # x2212;


P
K





= rP cdot left1- right

где константа r определяет скорость роста, а K является несущей способностью
В уравнении ранний, беспрепятственный темп роста моделируется первым слагаемым + rP. Значение показателя r представляет собой пропорциональный прирост населения P за одну единицу времени Позже, по мере роста населения модуль второго слагаемого, который умножается, равен -rP2 / K, становится почти таким же большим, как и первый член, так как некоторые члены совокупности P мешают eac h другой, конкурируя за некоторый критический ресурс, такой как еда или жизненное пространство. Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра K. Конкуренция уменьшает совокупную скорость роста, пока значение P не перестанет расти, это называется зрелостью населения Решение уравнения с





0




Начальная популяция - это первичное население -






=



K

P
0


e

r
t



K
+
P
0






r
t


& # x2212;
1




e ^ lefte ^ -1 right

где








& # x2192;
& # x221E;


P

t

= K


Pt = K

То есть, K является предельным значением P: наибольшим значением, которое население может достичь заданного бесконечного времени или приблизиться к достижению за конечное время. Важно подчеркнуть, что грузоподъемность асимптотическая достигли независимо от начального значения P0 & gt; 0, также в случае, если P0 & gt; K
В экологии виды иногда называют r-стратегом или K-стратегом в зависимости от избирательных процессов, которые сформировали их стратегии жизненного цикла. Выбор переменных размеров так, чтобы n измерял популяцию в единицах пропускной способности, и τ измеряет время в единицах 1 / r, дает безразмерное дифференциальное уравнение



d
n

d
& # x03C4;







1
& # x2212;
n



= n1-n

Изменяющаяся во времени грузоподъемность
Поскольку условия окружающей среды влияют на грузоподъемность, вследствие этого она может изменяться во времени: Kt & gt; 0, что приводит к следующей математической модели:



d
P

d
t



=
r
P
& # x22C5;


1
& # x2212;


P

K
t






= rP cdot left1- right

Особенно важный случай - это пропускная способность, которая периодически меняется с периодом T:



K

t
+
T

=
K
T





Можно показать, что в таком случаенезависимо от начального значения P0 & gt; 0, Pt будет стремиться к единственному периодическому решению Pt, чей период T
Типичное значение T составляет один год: в таком случае Kt может отражать периодические изменения погодных условий. Другое интересное обобщение состоит в том, чтобы считать, что пропускная способность Kt является функцией населения в более раннее время, фиксируя задержку в том, как население изменяет свое окружение. Это приводит к логистическому уравнению задержки [7], которое имеет очень богатое поведение с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, как а также монотонный спад до нуля, плавный экспоненциальный рост, прерывистый неограниченный рост, т. е. множественные S-формы, прерывистый рост или чередование до стационарного уровня, колебательный подход к стационарному уровню, устойчивые колебания, сингулярности конечного времени, а также конечные время смерти
В статистике и машинном обучении
Логистические функции используются в нескольких ролях в статистике. Например, они являются кумулятивной функцией распределения семейства логистических распределений, и они немного упрощены, используются для моделирования шансов, что шахматист должен победить своего оппонента в системе рейтингов Эло. Более конкретные примеры теперь следуют
Логистическая регрессия
Основная статья: Логистическая регрессия
Логистические функции используются в логистическая регрессия для моделирования того, как на вероятность p события может влиять одна или несколько объясняющих переменных: в качестве примера можно привести модель



p
=
P






x, где x - объясняющая переменная, а a и b - параметры модели. для установки
Логистическая регрессия и другие логарифмические модели также широко используются в машинном обучении. Обобщением логистической функции для нескольких входов является функция активации softmax, используемая в полиномиальной логистической регрессии. Другое применение логистической функции находится в модели Раша, используемой в теории ответа элемента Модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия расположения объектов или людей в континууме на основе коллекций категориальных данных, например, способностей людей в континууме на основе ответов, которые были классифицированы как правильные и неправильные. > Нейронные сети
Логистические функции часто используются в нейронных сетях для введения нелинейности в модель и / или для фиксации сигналов в заданном диапазоне. Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет ограниченную логистику. функция к результату; Эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона. Общий выбор для функций активации или «сжатия», используемых для обрезания на большие величины для поддержания ограниченной реакции нейронной сети [8]:





h

=

1

1
+

e

& # x2212;
2
& # x03B2;
h








которая является логистической функцией Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами. Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно происхождения, например, гиперболический тангенс, приводят к более быстрой конвергенции при обучении сетей. rks с обратным распространением [9]
Логистическая функция сама является производной от другой предложенной функции активации, softplus
В медицине: моделирование роста опухолей
См. также: кривая Гомперца § Рост опухолей
Другое применение логистической кривой в медицине, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно считать продолжением вышеупомянутого использования в рамках экологии, см. Также Обобщенную логистическую кривую, позволяющую более Параметры Обозначая через Xt размер опухоли в момент времени t, ее динамика регулируется:



>
=
r


1
& # x2212;


X
K




X


= r left1- rightX
Типы:



X

& # x2032;


=
F


X

X
,

F

& # x2032;



X

& # x2264;
0


= F leftX rightX, F ^ X leq 0

где FX - это Скорость распространения опухоли. Если химиотерапия начинается с логарифмическим эффектом, уравнение может быть изменено на следующее:



X

& # x2032;


=
r


1
& # x2212;


X
K




X
& # x2212;
c

t

X


=rleft1- ightX-ctX

,
where ct is the therapy-induced death rate In the idealized case of very long therapy, ct can be modeled as a periodic function of period T or in case of continuous infusion therapy as a constant function, and one has that





1
T



&#x222B;

0


T



c

t


d
t

&gt;
r
&#x2192;

lim

t
&#x2192;
+
&#x221E;


x

t

=
0


int _^&gt;r ightarrow lim _xt=0

ie if the average therapy-induced death rate is greater than the baseline proliferation rate then there is the eradication of the disease Of course, this is an oversimplified model of both the growth and the therapy eg it does not take into account the phenomenon of clonal resistance
In chemistry: reaction models
The concentration of reactants and products in autocatalytic reactions follow the logistic function
In physics: Fermi distribution
The logistic function determines the statistical distribution of fermions over the energy states of a system in thermal equilibrium In particular, it is the distribution of the probabilities that each possible energy level is occupied by a fermion, according to Fermi–Dirac statistics
In linguistics: language change
In linguistics, the logistic function can be used to model language change:[10] an innovation that is at first marginal begins to spread more quickly with time, and then m ore slowly as it becomes more universally adopted
In economics and sociology: diffusion of innovations
The logistic function can be used to illustrate the progress of the diffusion of an innovation through its life cycle
In The Laws of Imitation 1890, Gabriel Tarde describes the rise and spread of new ideas through imitative chains In particular, Tarde identifies three main stages through which innovations spread: the first one corresponds to the difficult beginnings, during which the idea has to struggle within a hostile environment full of opposing habits and beliefs; the second one corresponds to the properly exponential take-off of the idea, with



f

x

=

2

x






; finally, the third stage is logarithmic, with



f

x

=
log
&#x2061;

x





, and corresponds to the time when the impulse of the idea gradually slows down while, simultaneously new opponent ideas appear The ensuing situation halts or stabilizes the progress of the innovation, which approaches an asymptote
In the history of economy, when new products are introduced there is an intense amount of research and development which leads to dramatic improvements in quality and reductions in cost This leads to a period of rapid industry growth Some of the more famous examples are: railroads, incandescent light bulbs, electrification, cars and air travel Eventually, dramatic improvement and cost reduction opportunities are exhausted, the product or process are in widespread use with few remaining potential new customers, and mark ets become saturated
Logistic analysis was used in papers by several researchers at the International Institute of Applied Systems Analysis IIASA These papers deal with the diffusion of various innovations, infrastructures and energy source substitutions and the role of work in the economy as well as with the long economic cycle Long economic cycles were investigated by Robert Ayres 1989[11] Cesare Marchetti published on long economic cycles and on diffusion of innovations[12][13] Arnulf Grübler’s book 1990 gives a detailed account of the diffusion of infrastructures including canals, railroads, highways and airlines, showing that their diffusion followed logistic shaped curves[14]
Carlota Perez used a logistic curve to illustrate the long Kondratiev business cycle with the following labels: beginning of a technological era as irruption, the ascent as frenzy, the rapid build out as synergy and the completion as maturity[15]
See also
Diffusion of innovations
Generalise d logistic curve
Gompertz curve
Heaviside step function
Hubbert curve
Logistic distribution
Logistic map
Logistic regression
Logistic smooth-transmission model
Logit
Log-likelihood ratio
Malthusian growth model
Population dynamics
r/K selection theory
Shifted Gompertz distribution
Tipping point sociology
Rectifier neural networks
Notes
^ Verhulst, Pierre-François 1838 "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" PDF Correspondance mathématique et physique 10: 113–121 Retrieved 3 December 2014 
^ Verhulst, Pierre-François 1845 "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population" [Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase] Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: 1–42 Retrieved 2013-02-18 
^ expit documentation for R's clusterPower package
^ Raul Rojas Neural Networks - A Systematic Introduction PDF Retri eved 15 October 2016 
^ A G McKendricka; M Kesava Paia1 January 1912 "XLV—The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study" Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 31: 649–653 doi:101017/S0370164600025426 
^ Raymond Pearl and Lowell Reed June 1920 "On the Rate of Growth of the Population of the United States" PDF Proc of the National Academy of Sciences 6 6 p 275 
^ Yukalov, V I; Yukalova, E P; Sornette, D 2009 "Punctuated evolution due to delayed carrying capacity" Physica D: Nonlinear Phenomena 238 17: 1752 doi:101016/jphysd200905011 
^ Gershenfeld 1999, p150
^ LeCun, Y; Bottou, L; Orr, G; Muller, K 1998 Orr, G; Muller, K, eds Efficient BackProp PDF Neural Networks: Tricks of the trade Springer ISBN 3-540-65311-2 
^ Bod, Hay, Jennedy eds 2003, pp 147–156
^ Ayres, Robert 1989 "Technological Transformations and Long Waves" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1996 "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1988 "Kondratiev Revisited-After One Cycle" PDF 
^ Grübler, Arnulf 1990 The Rise and Fall of Infrastructures: Dynamics of Evolution and Technological Change in Transport PDF Heidelberg and New York: Physica-Verlag 
^ Perez, Carlota 2002 Technological Revolutions and Financial Capital: The Dynamics of Bubbles and Golden Ages UK: Edward Elgar Publishing Limited ISBN 1-84376-331-1 
References
Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer 2003 Probabilistic Linguistics Cambridge, Massachusetts: MIT Press ISBN 0-262-52338-8 
Gershenfeld, Neil A 1999 The Nature of Mathematical Modeling Cambridge, UK: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-57095-4 
Kingsland, Sharon E 1995 Modeling nature: episodes in the history of population ecology Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-43728-0 
Weisstein, Eric W "Logistic Equation" MathWorld 
External links
LJ Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve, accessed 2009-09-12
http://lunacasusfedu/~mbrannic/files/regression/Logistichtml
Weisstein, Eric W "Sigmoid Function" MathWorld 
Online experiments with JSXGraph
Esses are everywhere
Seeing the s-curve is everything


Logistic function

Random Posts

La Porte, Indiana

La Porte, Indiana

La Porte French for "The Door" is a city in LaPorte County, Indiana, United States, of which it is t...
Fernando Montes de Oca Fencing Hall

Fernando Montes de Oca Fencing Hall

The Fernando Montes de Oca Fencing Hall is an indoor sports venue located in the Magdalena Mixhuca S...
My Everything (The Grace song)

My Everything (The Grace song)

"My Everything" was Grace's 3rd single under the SM Entertainment, released on November 6, 2006 Unli...
Turkish Straits

Turkish Straits

The Turkish Straits Turkish: Türk Boğazları are a series of internationally significant waterways in...