Mon . 20 Jul 2020

Логистикалық функция

Логистикалық функция немесе логистикалық қисық - бұл «S» пішінді сигмоидтық қисық, теңдеуі бар:



f

x

=


L

1
+

e


& # x2212;
k

x
& # x2212;
x

0








^

мұндағы
e = Эйлер саны деп те аталатын табиғи логарифмнің негізі, x = = сигмоидтың орта нүктесінің х-мәні, L = қисықтың максимумы мәні, және k = қисықтың беріктігі [1]
x мәні үшін Нақты сандардың диапазоны −∞-ден + ∞-ге дейін, оң жақта көрсетілген S қисығы L-ге жақындау кезінде x-ке жақындаған кезде ∞-ге, ал x-ке жақындағанда нольге жақындауымен алынған −∞. 1844–1845 жж. Оны Пьер Франсуа Верхульст зерттеді, ол оны халық санының өсуіне байланысты зерттеді [2] Өсудің бастапқы кезеңі шамамен экспоненциалды; содан кейін қанықтыру басталады, өсу баяулайды және жетілу кезінде өсу тоқтайды. Логистикалық функция жасанды нейрондық желілерді, биологияны, әсіресе экологияны, биоматематиканы, химияны, демографияны, экономика, геосия, математика сияқты бірқатар салаларда қолданбаларды табады психология, ықтималдық, әлеуметтану, саясаттану, лингвистика және статистика
Мазмұны
1 Математикалық қасиеттер
11 Туынды
12 Логистикалық дифференциалдық теңдеу
13 айналмалы симметрия 0, ½
2 қосымшалар
21 Экологияда: популяцияның өсуін модельдеу - 211 уақыттың өзгергіш қабілеті
22 Статистикада және машинаны оқытуда
221 логистикалық регрессия
222 нейрондық желілер
23 Медицинада: өсуді модельдеу ісіктер
24 Химия: реакция модельдері
25 Физикада: Фермидің таралуы
26 Тіл білімінде: тілдің өзгеруі
27 Экономика мен әлеуметтануда: инновациялардың таралуы
3 Сонымен қатар қараңыз: 4 ескертулер: 5 сілтемелер
6 сыртқы сілтемелер
Математикалық қасиеттер
Стандартты логистикалық функция дегеніміз k = 1, x0 = 0, L = 1 параметрлері бар логистикалық функция, ол


f

x

= береді.


1

1
+

e

& # x2212;
x


Туынды
Стандартты логистикалық функцияда оңай есептелетін туынды бар:





d

d
x


f f
x

=

e

& x x1212;
x




1
+

e

& x x1212;
x




2









1

1
+

e

& # x2212;
x











e
& # x2212;
x


1
+

e

& # x2212;
x






=
f

x


1
& # x2212;
f

x



fx = ^ = солға / оңға сол жақта оң жақта = fx1-fx

Сонымен қатар, оның 1-ші және 1-ші орынға ие қасиеті бар. x

=
f

& # x2212;
x





Осылайша,



x
& # x21A6;
f

x

& # x2212;
1

/

2




тақ функция
Логистикалық дифференциалдық теңдеу
Стандартты логистикалық функция қарапайым бірінші ретті сызықты емес дифференциалдық теңдеудің шешімі болып табылады.


d

d
x


f

x

=
f

x


1
& # x2212;
f

x




fx = fx1-fx
шекаралық шартымен f0 = 1/2 Бұл теңдеу логистикалық картаның үздіксіз нұсқасы болып табылады. фазалық сызық: туынды null wh болып табылады en функциясы бірлік болып табылады және туынды 0 ден 1-ге дейінгі аралықта оң, ал f мәні 1-ден жоғары немесе 0-ден аз болса да, теріс популяциялар физикалық модельге сәйкес келмейді Бұл 0-ге тұрақсыз тепе-теңдік, ал тұрақты тепе-теңдік береді. 1 және осылайша нөлден үлкен және бірліктен аз функцияның кез келген мәні үшін ол бірлікке айналады. Жоғарыда келтірілген теңдеуді келесі қадамдарда қайта жазуға болады:





d

d
x


f

x

=
f

x


1
& # x2212;
f

x



fx = fx1-fx





d
y

d
x



=
y

1
& # x2212;
y



= y1 -y




d
y

d
x



=
y
& # x2212;

y

2




= yy ^





d
y

d
x



& # x2212;
y
=
& # x2212;

y

2




-y = -y ^

Бұл ерекше жағдай Бернулли дифференциалдық теңдеуінің шешімі бар:


f

x

=



e

x



e

x


+
C




+ C

Интеграцияның тұрақты мәнін таңдау
C
=
1



«логикалық қисық» анықтамасының басқа белгілі формасын береді
f

x

=


e

x




e

x


+
1



=

1

1
+

e

& x x1212;
x






+ 1 =

Сандық жағынан, аналитикалық шешімнен көрініп тұрғандай, логистикалық қисық теріс аргументтің ерте экспоненциалдық өсуін көрсетеді, бұл жақын аргумент үшін 1/4 көлбеу сызықты өсуіне баяулатады. нөлге тең болады, содан кейін экспоненциалды ыдырайтын саңылауға жүгінеді. Логистикалық функция табиғи лог функциясы болып табылады, сондықтан оны логарифмді ықтималдыққа түрлендіру үшін қолдануға болады. enit [3] logit-пен бірдей нысанда шығыңыз. Екі балама лог-ықтималдылық коэффициентінен түрлену логистикалық қисық түрінде болады. Логистикалық сигмоидтық функция гиперболалық тангенске байланысты, Ap by



2

f

x

=
1
+
tan
& # x2061;


x
2




/ оң жақта
немесе



tanh
& # x2061;

x

=
2
f

2

x

& # x2212;
1




Соңғы қатынас



tanh
& # x2061;

x

=



e

x


& # x2212;

e

& # x2212;
x




e

x


+

e

& # x2212;
x





=



e

x


& # x22C5;


1
& # x2 212;

e

& # x2212;
2
x






e

x


& # x22C5;
1-ші орын +

e

& # x2212;
2
x






= f f

2
x

& # x2212;


e

& # x2212;
2
x



1
+

e

& 2 x2212;
2
x





=
f

2
x

& # x2212;




e

& # x2212;
2
x


+
1
& # x2212;
1


1
+

e

& 2 x2212;
2
x





= 2

f
2

x

& # x2212;
1


-e ^ + e ^ = cdot left1-e ^ right cdot left1 + e ^ right = f2x- = f2x- + 1-1 = 2 , f2 , x-1

Гиперболалық тангенс қатынасы логистикалық функцияның туындысының басқа формасына әкеледі:




d

d
x



f

x

=

1
4




br> 2


& # x2061;



x
2






fx = оператор атауы ^ сол жақта / оң жақта],
логистімен байланысқан c функциясы логистикалық үлестірімдегі айналмалы симметрия шамамен 0, ½ - логикалық функцияның қосындысы және оның тік ось туралы шағымы, f −x





1

1
+

e

& # x2212;
x





+

1

1
+

e

& # x2212;

& # x2212;
x





=



1
+

e

x


+

1
+

e

& # x2212;
x





1
+

e

& # x2212;
x


1-ші
+

e

x





=


2
+

e

x


+

e

& x xx1212;
x



1
+

e

x


+

e

& # x2212;
x


+

e

x
& # x2212;
x





=



2
+

e

x


+

e

& # x2212;
x



2
+

e

x


+
e

& # x2212;
x





=
1


+ = + 1 + e ^ 1 + e ^ = + e ^ + e ^ + e ^ = + e ^ + e ^ = 1

Сонымен логистикалық функция 0, 1/2 нүктесіне қатысты айналмалы симметриялы [4]
Қолданбалар
Экологияда: популяция өсуін модельдеу - Пьер-Франсуа Верхульст 1804 –1849
Логистикалық теңдеудің типтік қолданылуы - популяция өсуінің жалпы моделі, сонымен қатар популяция динамикасын да қараңыз 1838 жылы Пьер-Франсуа Верхульстің арқасында, көбею қарқыны қазіргі популяцияға да, қолда бар ресурстардың көлеміне де пропорционалды, қалғанының бәрі тең Верхульст теңдеуі Верхульст Томас Мальтустың «Принцип туралы эссе» оқығаннан кейін жарияланды. Популяция Верхульст биологиялық популяцияның өзін-өзі шектейтін өсуін сипаттау үшін өзінің логистикалық теңдеуін алды. Бұл теңдеуді 1911 жылы А.Г.Маккендрик сорпадағы бактериялардың көбеюі үшін қайта ойлап тауып, сызықтық емес параметрлерді есептеу әдісін қолдана отырып тәжірибе жүзінде сынап көрді [5]. 1920 жылы Рэймонд Інжу 1879–1940 және Лоэлл Рид 1888–1966 Джонс Хопкинс университетінің қайта зерттегеннен кейін Верхульст-Жемчуж теңдеуі деп те аталады [6] Тағы бір ғалым Альфред Дж Лотка 1925 жылы оны теңдеуді заң деп атады. популяция санының өсуі - N популяцияның мөлшерін білдіру экологияда жиі пайдаланылады және уақытты білдірмейді, бұл модель жасалады дифференциалдық теңдеу бойынша: d
P

d
t



=
r
P
& # x22C5;
1-ші орын | & # x2212;


P
K





= rP cdot left1- right], онда тұрақты r өсу қарқынын және K-ны анықтайды өткізгіштік қабілеттілігі болып табылады - Теңдеуде өсудің ерте, кедергісі бірінші терминмен модельденеді + rP R жылдамдықтың мәні уақыттың бірлігінде Р популяциясының пропорционалды өсуін білдіреді Кейінірек, популяция өскен сайын , екінші реттік модуль көбейтілді, −rP2 / K біріншіге тең болады, өйткені П популяцияның кейбір мүшелері eac-қа кедергі келтіреді h басқалары, мысалы, азық-түлік немесе өмір сүру кеңістігі сияқты маңызды ресурстар үшін бәсекелесе отырып, бұл антагонистік әсер «қиыншылық» деп аталады және K параметрінің мәні бойынша модельденеді. Б мәні P өсуі тоқтағанша бәсекелестік өсудің жиынтық қарқынын төмендетеді. П







теңдеуінің шешімі халықтың жетілгендігі деп аталады Бастапқы популяция болып табылатын

P



=



K

P
0


e

r
t



K
+
P
0




e

r
t


& # x2212;
1






e ^ lefte -1 -1 оң жақта





lim

t & # x2192;
& # x221E;


P

t

=
K

Pt = K

K-ны P-тің шекті мәні деп айтады: популяция берілген шексіз уақытқа жете алады немесе белгілі бір уақытқа жете алады. Жүк көтергіштігі асимптотикалық екенін атап өткен жөн одақтас бастапқы мәннен тәуелсіз P0 & гт; 0, сонымен қатар P0 & gt; K - Экологияда түрлерді өмірлік стратегиясын қалыптастырған іріктелген процестерге байланысты кейде r-стратег немесе К-стратег деп атайды. N популяцияны өткізу қабілеттілігінің өлшемдерінде өлшейтін өзгермелі өлшемдерді таңдау және τ уақытты 1 / р бірлікте өлшейді, өлшемсіз дифференциалдық теңдеуді береді




d
n


d
& # x03C4;



=
n
1
& # x2212;
n



= n1-n

Уақыттың өзгергіштігі - Қоршаған орта жағдайлары жүк көтергіштігіне әсер ететіндіктен, уақыт өзгеруі мүмкін: Kt & gt; 0, келесі математикалық модельге әкеледі:




d
P

d
t



=
r
P
& # x22C5;

1
& # x2212;


P

K







= rP cdot left1- right

T кезеңімен мезгіл-мезгіл өзгеріп отыратын жүк көтергіштігі маңызды жағдай:



K

t
+
T

=
K

t




Мұндай жағдайда,бастапқы мәннен тәуелсіз P0 & gt; 0, Pt Pt ерекше периодты шешімге бейім болады, оның периоды T - Т-нің типтік мәні - бір жыл: Мұндай жағдайда Kt ауа-райының мезгілдік өзгеруін көрсетуі мүмкін. Тағы бір қызықты жалпылау - бұл жүк көтергіштігі Kt - бұл популяцияның ертерек уақыттағы қызметі, популяцияның қоршаған ортаны өзгерту жолындағы кідірісті ұстап тұруы; Бұл логикалық кідіріс теңдеуіне әкеледі, [7], өте бай мінез-құлқы бар, кейбір параметрлер диапазонында бистикалық қабілеттілікке ие. сонымен бірге нөлге монотонды ыдырау, біркелкі экспоненциалды өсу, шексіз өсу, яғни бірнеше S-пішінді, пунктуацияланатын өсу немесе стационарлық деңгейге ауысу, стационар деңгейге тербеліс тәсілі, тұрақты тербелістер, ақырлы уақыт ерекшелігі, ақырғы - уақыттық өлім
Статистикада және машинаны оқытуда
Логистикалық функциялар статистикада бірнеше рөлдерде қолданылады. Мысалы, олар логистикалық үлестірімдер тобының жиынтық бөлу функциясы, және олар Аздап жеңілдетілген, шахматшының Elo рейтингтік жүйесінде қарсыласын жеңуі мүмкіндігін модельдеу үшін пайдаланылады. Қазір нақты мысалдар келтірілуде
Логистикалық регрессия
Негізгі мақала: Логистикалық регрессия
Логистикалық функциялар қолданылады Оқиғаның ықтималдығы бір немесе бірнеше түсіндіруші айнымалыларға қалай әсер ететінін модельдеуге арналған логистикалық регрессия: мысалы


p
=
P моделіне айналуы мүмкін

a
+
b
x





мұндағы x - түсіндіруші айнымалы, а және b - модель параметрлері жабдықталуы керек
Логистикалық регрессия және басқа логикалық-сызықтық модельдер машинада оқуда жиі қолданылады. Логистикалық функцияны бірнеше кірістерге жалпылау - бұл мулиномиалды логистикалық регрессияда қолданылатын softmax активтендіру функциясы
Логистикалық функцияның тағы бір қолданбасы затқа жауап теориясында қолданылатын Rasch моделінде, атап айтқанда, т ол Rasch моделі объектілердің немесе адамдардың континуумдағы орналасуын максималды бағалау үшін негіз болып табылады, мысалы категориялық мәліметтер жинақтарына негізделген, мысалы дұрыс және дұрыс емес деп жіктелген жауаптар негізінде континумдағы адамдардың қабілеттері. > Нейрондық желілер - Логистикалық функциялар көбінесе нейрондық желілерде модельде сызықты емес белгілерді енгізу және / немесе белгілі бір диапазонға сигналдарды бекіту үшін қолданылады. Танымал нейронды желі элементтері оның кіріс сигналдарының сызықтық комбинациясын есептейді және байланыстырылған логистиканы қолданады нәтижеге функция; бұл модельді классикалық шекті нейронның «тегістелген» нұсқасы ретінде қарастыруға болады. Нейрондық желінің жауабын ұстап тұру үшін үлкен өлшемдер үшін қысу үшін қолданылатын «активация» немесе «сығылу» функциялары үшін жалпы таңдау болып табылады [8].


g

h

=

1

1
+

e

& # x2212;
2
& # x03B2;
h





Сондай-ақ қараңыз: Гомертц қисығы § Ісіктердің өсуі
логистикалық функцияның өзі басқа ұсынылған активтендіру функциясының туындысы болып табылады. Логистикалық қисықтың тағы бір қолданылуы медицинада, онда ісіктердің өсуін модельдеу үшін логистикалық дифференциалдық теңдеу қолданылады. Бұл қосымшаны экология аясында жоғарыда келтірілген қолдану кеңейтімі ретінде қарастыруға болады, сонымен қатар көп мүмкіндік беретін жалпыланған логистикалық қисықты қараңыз параметрлері X кезіндегі ісіктің мөлшерін t уақытында, оның динамикасын басқарады:



X

& # x2032;


=
r

1
& # x2212;


X
K




X


= r left1- rightX
типі бар:




X

& # x2032;


=
F


X


X
,
F

& # x2032;



X

& # x2264;
0


= F leftX rightX, F ^ X leq 0

мұнда FX орналасқан Ісіктің көбею жылдамдығы - Егер химиотерапия лог-өлтіру әсерінен басталса, теңдеу қайта қаралуы мүмкін



X

# x2032;


=
r

1
& # x2212;


X
K




X
& # x2212;
c

t

X


=rleft1- ightX-ctX

,
where ct is the therapy-induced death rate In the idealized case of very long therapy, ct can be modeled as a periodic function of period T or in case of continuous infusion therapy as a constant function, and one has that





1
T



∫

0


T



c

t


d
t

>
r
→

lim

t
→
+
∞


x

t

=
0


int _^>r ightarrow lim _xt=0

ie if the average therapy-induced death rate is greater than the baseline proliferation rate then there is the eradication of the disease Of course, this is an oversimplified model of both the growth and the therapy eg it does not take into account the phenomenon of clonal resistance
In chemistry: reaction models
The concentration of reactants and products in autocatalytic reactions follow the logistic function
In physics: Fermi distribution
The logistic function determines the statistical distribution of fermions over the energy states of a system in thermal equilibrium In particular, it is the distribution of the probabilities that each possible energy level is occupied by a fermion, according to Fermi–Dirac statistics
In linguistics: language change
In linguistics, the logistic function can be used to model language change:[10] an innovation that is at first marginal begins to spread more quickly with time, and then m ore slowly as it becomes more universally adopted
In economics and sociology: diffusion of innovations
The logistic function can be used to illustrate the progress of the diffusion of an innovation through its life cycle
In The Laws of Imitation 1890, Gabriel Tarde describes the rise and spread of new ideas through imitative chains In particular, Tarde identifies three main stages through which innovations spread: the first one corresponds to the difficult beginnings, during which the idea has to struggle within a hostile environment full of opposing habits and beliefs; the second one corresponds to the properly exponential take-off of the idea, with



f

x

=

2

x






; finally, the third stage is logarithmic, with



f

x

=
log
⁡

x





, and corresponds to the time when the impulse of the idea gradually slows down while, simultaneously new opponent ideas appear The ensuing situation halts or stabilizes the progress of the innovation, which approaches an asymptote
In the history of economy, when new products are introduced there is an intense amount of research and development which leads to dramatic improvements in quality and reductions in cost This leads to a period of rapid industry growth Some of the more famous examples are: railroads, incandescent light bulbs, electrification, cars and air travel Eventually, dramatic improvement and cost reduction opportunities are exhausted, the product or process are in widespread use with few remaining potential new customers, and mark ets become saturated
Logistic analysis was used in papers by several researchers at the International Institute of Applied Systems Analysis IIASA These papers deal with the diffusion of various innovations, infrastructures and energy source substitutions and the role of work in the economy as well as with the long economic cycle Long economic cycles were investigated by Robert Ayres 1989[11] Cesare Marchetti published on long economic cycles and on diffusion of innovations[12][13] Arnulf Grübler’s book 1990 gives a detailed account of the diffusion of infrastructures including canals, railroads, highways and airlines, showing that their diffusion followed logistic shaped curves[14]
Carlota Perez used a logistic curve to illustrate the long Kondratiev business cycle with the following labels: beginning of a technological era as irruption, the ascent as frenzy, the rapid build out as synergy and the completion as maturity[15]
See also
Diffusion of innovations
Generalise d logistic curve
Gompertz curve
Heaviside step function
Hubbert curve
Logistic distribution
Logistic map
Logistic regression
Logistic smooth-transmission model
Logit
Log-likelihood ratio
Malthusian growth model
Population dynamics
r/K selection theory
Shifted Gompertz distribution
Tipping point sociology
Rectifier neural networks
Notes
^ Verhulst, Pierre-François 1838 "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" PDF Correspondance mathématique et physique 10: 113–121 Retrieved 3 December 2014 
^ Verhulst, Pierre-François 1845 "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population" [Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase] Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: 1–42 Retrieved 2013-02-18 
^ expit documentation for R's clusterPower package
^ Raul Rojas Neural Networks - A Systematic Introduction PDF Retri eved 15 October 2016 
^ A G McKendricka; M Kesava Paia1 January 1912 "XLV—The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study" Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 31: 649–653 doi:101017/S0370164600025426 
^ Raymond Pearl and Lowell Reed June 1920 "On the Rate of Growth of the Population of the United States" PDF Proc of the National Academy of Sciences 6 6 p 275 
^ Yukalov, V I; Yukalova, E P; Sornette, D 2009 "Punctuated evolution due to delayed carrying capacity" Physica D: Nonlinear Phenomena 238 17: 1752 doi:101016/jphysd200905011 
^ Gershenfeld 1999, p150
^ LeCun, Y; Bottou, L; Orr, G; Muller, K 1998 Orr, G; Muller, K, eds Efficient BackProp PDF Neural Networks: Tricks of the trade Springer ISBN 3-540-65311-2 
^ Bod, Hay, Jennedy eds 2003, pp 147–156
^ Ayres, Robert 1989 "Technological Transformations and Long Waves" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1996 "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1988 "Kondratiev Revisited-After One Cycle" PDF 
^ Grübler, Arnulf 1990 The Rise and Fall of Infrastructures: Dynamics of Evolution and Technological Change in Transport PDF Heidelberg and New York: Physica-Verlag 
^ Perez, Carlota 2002 Technological Revolutions and Financial Capital: The Dynamics of Bubbles and Golden Ages UK: Edward Elgar Publishing Limited ISBN 1-84376-331-1 
References
Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer 2003 Probabilistic Linguistics Cambridge, Massachusetts: MIT Press ISBN 0-262-52338-8 
Gershenfeld, Neil A 1999 The Nature of Mathematical Modeling Cambridge, UK: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-57095-4 
Kingsland, Sharon E 1995 Modeling nature: episodes in the history of population ecology Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-43728-0 
Weisstein, Eric W "Logistic Equation" MathWorld 
External links
LJ Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve, accessed 2009-09-12
http://lunacasusfedu/~mbrannic/files/regression/Logistichtml
Weisstein, Eric W "Sigmoid Function" MathWorld 
Online experiments with JSXGraph
Esses are everywhere
Seeing the s-curve is everything


Logistic function

Random Posts

Book

Book

A book is a set of written, printed, illustrated, or blank sheets, made of ink, paper, parchment, or...
Boston Renegades

Boston Renegades

Boston Renegades was an American women’s soccer team, founded in 2003 The team was a member of the U...
Sa Caleta Phoenician Settlement

Sa Caleta Phoenician Settlement

Sa Caleta Phoenician Settlement can be found on a rocky headland about 10 kilometers west of Ibiza T...
Bodybuilding.com

Bodybuilding.com

Bodybuildingcom is an American online retailer based in Boise, Idaho, specializing in dietary supple...