Mon . 20 Jul 2020

Лагістычная функцыя

Лагістычная функцыя або лагістычная крывая - гэта звычайная сігмападобная крывая "S" формы з ураўненнем:



f = x x = = =
у L L

1
+


e


& # x2212;
k

x
& # x2212;

x
0, 0, 0, 0, 3, 3 і 3 br> | ^

дзе e = натуральная база лагарыфма, таксама вядомая як лік Эйлера, xx = значэнне х сярэдзіны сігмоіды, L = максімум крывой значэнне, і
k = крывая крутасць [1]
Для значэнняў х у дыяпазон рэальных лікаў ад −∞ да + ∞, S-крывая, паказаная справа, атрымліваецца з графікам f, які набліжаецца да L, калі х набліжаецца да + ∞ і набліжаецца да нуля, калі х набліжаецца −∞ - Функцыя была названа ў 1844–1845 П'ер Франсуа Верхюльст, які вывучаў яго ў сувязі з ростам насельніцтва [2]. Пачатковая стадыя росту прыблізна экспаненцыяльная; потым, па меры насычэння, рост запавольваецца, а па меры сталасці рост спыняецца. Лагістычная функцыя знаходзіць прымяненне ў розных галінах, уключаючы штучныя нейронныя сеткі, біялогію, асабліва экалогію, біяматэматыку, хімію, дэмаграфію, эканоміку, навуку, матэматыку псіхалогія, верагоднасць, сацыялогія, паліталогія, лінгвістыка і статыстыка - Змест 1 - Матэматычныя ўласцівасці - 11 Вытворная - 12 Лагістычнае дыферэнцыяльнае раўнанне - 13 Ратацыйная сіметрыя каля 0, ½
2 Прымяненне
21 У экалогіі: мадэляванне прыросту насельніцтва - 211 вар'іраванне грузападымальнасці - 22 У статыстыцы і машынным навучанні - 221 Лагістычная рэгрэсія - 222 Нейронныя сеткі - 23 У медыцыне: мадэляванне росту пухлін - 24 У хіміі: мадэлі рэакцыі - 25 У фізіцы: распаўсюджванне Фермі - 26 У лінгвістыцы: змена мовы
27 У эканоміцы і сацыялогіі: дыфузія інавацый
3 Глядзіце таксама
4 Заўвагі
5 Спасылкі
6 Знешнія спасылкі
Матэматычныя ўласцівасці
Стандартная лагістычная функцыя - гэта лагістычная функцыя з параметрамі k = 1, x0 = 0, L = 1, якая дае выхад у танк.

1 ст.
1 ст. + ун. е.
& # x2212;
х

<бр > Навучанне




На практыцы, з-за характару экспанентнай функцыі e − x, часта бывае дастаткова вылічыць стандартную лагістычную функцыю для x больш невялікі дыяпазон рэальных лікаў, такіх як дыяпазон, які змяшчаецца ў [−6, +6] - Вытворная | Стандартная лагістычная функцыя мае лёгка вылічаную вытворную:




> d

d
x |
x

= |

e |
& # x2212;
x |
1
+

e

& # x2212; x x




2
уяўленне пра тое, што атрымліваецца? e

& # x2212;
x | >


e

& # x2212; x x


1
+

e

& # x2212;
x





= = f

x
узыходжанне 1
& # x2212; f f | x x | bg | bg | fx = ^ = налева направа left right = fx1-fx |
У яго таксама ёсць уласцівасць, якая перавышае 1
& # x2212;
f

x

=
f

& # x2212; x x

| br>

x
& # x21A6;
f

x

& # x2212;
1

/

2



- няцотная функцыя - дыферэнцыяльнае ўраўненне лагістыкі - Стандартная лагістычная функцыя - гэта рашэнне простага нелінейнага звычайнага дыферэнцыяльнага раўнання першага парадку.



д-х




аптымізацыі



аптымізацыі
=


х

1
& # x2212;
f

x




fx = fx1-fx

з межавым умовай f0 = 1/2 Гэта раўнанне з'яўляецца бесперапыннай версіяй лагістычнай карты. Якаснае паводзіны лёгка зразумець з пункту гледжання фазавая лінія: вытворная з'яўляецца нулявой wh en функцыя адзінкавая, а вытворная станоўчая для f паміж 0 і 1, а адмоўная для f вышэй 1 і менш 0, хоць адмоўныя сукупнасці звычайна не адпавядаюць фізічнай мадэлі. Гэта дае нестабільнае раўнавагу пры 0 і стабільнае раўнавагу пры 1, і, такім чынам, пры любым значэнні функцыі, большым за нуль і меншым за адзінку, яно вырастае да адзінкі
Прыведзенае раўнанне можна перапісаць у наступныя крокі:





d | d d x x | bg> f | > x | птушкі 1
& # x2212; f f | x x |
| fx = fx1-fx Актыўнасць, якая склалася, і танальнасць, і тая макіяж, і танка, і г. д. і г. д. у x


= = y y
1 & & x2212; y y


= = y1 -y?



d-y y b-x-w


=
y & & x2212;
y y
2



= yy ^ «» »» »» »» »» »» »» »» »» »» »» »» do »do насамрэж»

& # x2212;
y = = & & x2212;
y y
2




-y = -y ^

Што з'яўляецца прыватным выпадкам дыферэнцыяльнага раўнання Бернулі і мае наступнае рашэнне:


f f | x x = = | e |
x |



e |
x | > Выбар канстанты інтэграцыі



Звязацца з канстантай інтэграцыі |


- гэта іншая вядомая форма азначэння лагістычнай крывой






X

=


e |
e

x
++++++++++++++++++++++++++++++ <<тэмп

1
+

e

& # x2212; x x






+ 1 =

Больш колькасна, як відаць з аналітычнага рашэння, лагістычная крывая паказвае ранні экспанентны рост негатыўнага аргумента, які запавольвае лінейны рост нахілу 1/4 для аргумента побач нуль, а потым набліжаецца да разрыву з экспанентнай разбурэннем
Лагістычная функцыя - зваротная натуральная функцыя логіта, і таму можа быць выкарыстана для пераўтварэння лагарыфма шанцаў у верагоднасць. У матэматычных пазначэннях лагістычная функцыя часам пішацца be ў выглядзе expit [3] у тым жа выглядзе, што і logit Пераўтварэнне з каэфіцыента верагоднасці лога дзвюх альтэрнатыў таксама прымае форму лагістычнай крывой
Лагістычная сігмападобная функцыя звязана з гіпербалічнай датычнай, Ap




2

f
xx = = 1 1 + + tanh & & x2061;




x
2

|



тань
& # x2061;
x

=
2

f <
2

x

& # x2212; Старонка 1




Апошняя сувязь вынікае з старонкі


танх & # x2061;

x

=?



e |
x?

& # x2212;
& # x2212;
x |
e

& # x2212; x x



= = | br> e

x


& # x22C5;

1
& # x2 212;

е

& # x2212;
2
x





e

x


& # x22C5;

1
+

e

& # x2212;
2
x | x

& # x2212;


e &
& # x2212;
2
x


1
+

e

& # x2212;
2
x




= = f

2
x

& # x2212; br> e |
& # x2212;
2
x |
+ + 1
& # x2212;
1

1 1 + +

e

& # x2212;
2
x |
= <б r> 2

f

2

x
& # x2212;
1


-e ^ + e ^ = cdot left1-e ^ right cdot left1 + e ^ right = f2x- = f2x- + 1-1 = 2 , f2 , x-1

Гіпербалічная тангенс адносіны прыводзіць да іншай формы для вытворнай лагістычнай функцыі:




d, d, d, x



f

x
= =

1
4



sech

2


& # x2061;



x
2





fx = імя аператара ^ налева направа,
, які звязвае лагістыку c функцыя ў лагістычным размеркаванні - вярчальная сіметрыя каля 0, ½
Сума лагістычнай функцыі і яе адлюстраванне аб вертыкальнай восі, f −x - гэта | >
1

1
+

e

& # x2212; x x





+

1, старонка 1, старонка 1, + +, электронная інфармацыя, інфармацыя, інфармацыя, інфармацыя, інфармацыя & # x2212;
x


++++ + + + + + + + + + + + + + + + + + x2212;

e |
x |
++++++++++++++++++++ E + x2212;
x



1 + +

e

& # x2212;
x



1
+

e

x | br>
=


2
+

e

x

+ +
e e

& # x2212; x x



1
+

e | x x | ++++++++++++++++++ E ++ + x2212;

+

e

x | & # x2212; x: x | =


2 + +
e e
x x

+

e

& # x2212; x x



2 + +

e | x x | +++++++++++++++++++++ І, eX, x | br>

= = 1


+ = + 1 + e ^ 1 + e ^ = + e ^ + e ^ + e ^ = + e ^ + e ^ = 1

Лагістычная функцыя, такім чынам, круцільна-сіметрычная адносна пункту 0, 1/2 [4] - Прымяненне
У экалогіі: мадэляванне росту насельніцтва
П'ер-Франсуа Верхюльст 1804 –1849
Тыповае прымяненне лагістычнага раўнання - гэта агульная мадэль прыросту насельніцтва Лі, дзякуючы П'еру-Франсуа Верхульсту ў 1838 г., калі хуткасць прайгравання прапарцыйная як наяўнаму насельніцтву, так і колькасці наяўных рэсурсаў, а астатнія роўныя. Ураўненне Верхульста было апублікавана пасля таго, як Верхульст прачытаў "Нарыс прынцыпу Томаса Мальтуса" Насельніцтва Верхульста атрымала сваё лагістычнае ўраўненне для апісання самаабмежаванага росту біялагічнай папуляцыі. Ураўненне было зноў адкрыта ў 1911 г. А. Г. Маккендрыкам для росту бактэрый у адвары і эксперыментальна выпрабавана з выкарыстаннем методыкі для нелінейнай ацэнкі параметраў [5]. таксама часам называюць раўнаннем Верхульста-Жамчужнага пасля яго паўторнага адкрыцця ў 1920 годзе Рэймондам Перлам 1879–1940 і Лоуэлам Рыдам 1888–1966 з Універсітэта Джона Хопкінса [6]. У 1925 г. яшчэ адзін навуковец, Альфрэд Дж. Лотка, зноў вывеў ураўненне, назваўшы яго законам прырост насельніцтва
Дазваляючы P прадстаўляць памер насельніцтва N, часта выкарыстоўваецца ў экалогіі, а t прадстаўляе час, гэтая мадэль фармалізавана па дыферэнцыяльным раўнанні:





d, P, P, P, D, t,

=
r
P
& # x22C5;

1
& # x2212;


P







= rP cdot left1- справа, дзе канстанта r вызначае тэмп росту і K - гэта прапускная здольнасць
У раўнанні ранні, бесперашкодны тэмп росту мадэлюецца першым тэрмінам + rP. Значэнне хуткасці r уяўляе сабой прапарцыянальны прырост насельніцтва P за адну адзінку часу. Пазней, па меры павелічэння колькасці насельніцтва , модуль другога тэрміна, які памножыўся на −rP2 / K, становіцца амаль такім жа вялікім, як і першы, бо некаторыя члены папуляцыі P перашкаджаюць эак ч іншы, змагаючыся за нейкі крытычны рэсурс, напрыклад, ежу ці жыццёвую прастору. Гэты антаганістычны эфект называецца вузкім месцам і мадэлюецца значэннем параметра K. Канкурэнцыя памяншае агульны тэмп росту, пакуль значэнне P не перастане расці. сталасць насельніцтва называецца сталасцю Рашэнне ўраўнення з тэмпамі


|
- пачатковая колькасць насельніцтва




Папярэдняя і наступная навіна: Таварыства р K


0





br br br br br br br br br br br br >
K + + т P
0 0 | br> & # x2212;
1





e ^ lefte ^ -1 направа

дзе



прамянёвая тэхніка


t & & x2192;
& # x221E;
t = = = K |

Pt = K |
Што азначае, што K - гранічнае значэнне P: найбольшае значэнне, якое насельніцтва можа дасягнуць бясконцага часу альбо наблізіцца да дасягнення ў канчатковы час Важна падкрэсліць, што грузападымальнасць асімптатычная саюзнік дасягнуты незалежна ад зыходнага значэння P0 & gt; 0, таксама ў выпадку, калі P0 & gt; K
У экалогіі віды часам называюць р-стратэгам або K-стратэгам у залежнасці ад выбарачных працэсаў, якія сфармавалі стратэгію іх гісторыі жыцця. Выбіраючы зменныя памеры так, каб п вымярала папуляцыю ў адзінках прапускной здольнасці і τ вымярае час у адзінках 1 / r, дае бязмернае дыферэнцыяльнае раўнанне:



d
n

d
& # x03C4;


= = n n
1
& # x2212;
n



= n1-n

Вагамі грузападымальнасць вар'іруецца ў часе
Паколькі ўмовы навакольнага асяроддзя ўплываюць на грузападымальнасць, як следства ён можа мяняцца часам: Kt> gt; 0, што вядзе да наступнай матэматычнай мадэлі:




d | P |

d

= = r
P
& # x22C5;

1
& # x2212;


P

K | t t, які мае патрэбу ў tv, у s left1- right

Асабліва важны выпадак грузападымальнасці, які перыядычна змяняецца ў залежнасці ад перыяду T:



K, K + T t +
T = = K K = T





Магчыма, паказана, што ў такім выпадкунезалежна ад зыходнага значэння P0 & gt; 0, Pt будзе імкнуцца да ўнікальнага перыядычнага рашэння Pt, перыяд якога T - тыповае значэнне T складае адзін год: У такім выпадку Kt можа адлюстроўваць перыядычныя змены ўмоў надвор'я. Яшчэ адным цікавым абагульненнем з'яўляецца ўлік прапускная здольнасць Kt - гэта функцыя насельніцтва ў больш раннія тэрміны, фіксуючы затрымку ў тым, як насельніцтва мяняе сваё асяроддзе. Гэта прыводзіць да лагістычнага раўнання затрымкі [7], якое мае вельмі багатыя паводзіны, з пераборлівасцю ў пэўным дыяпазоне параметраў, а таксама манатоннае падзенне да нуля, роўны экспанентны рост, акрэслены неабмежаваны рост, г.зн., некалькі S-вобразаў, пунктуаваны рост альбо чаргаванне на стацыянарны ўзровень, вагальны падыход да стацыянарнага ўзроўню, устойлівыя ваганні, незвычайнасць канечнасці, а таксама канчаткова- Час смерці - У статыстыцы і машынным навучанні
Лагістычныя функцыі выкарыстоўваюцца ў некалькіх ролях у статыстыцы. Напрыклад, яны з'яўляюцца функцыяй кумулятыўнага размеркавання лагістычнай сям'і дыстрыбутываў, і яны яны, крыху спрошчаныя, выкарыстоўваюцца для мадэлявання шанса шахматыста перамагчы свайго суперніка ў рэйтынгавай сістэме Elo. Больш падрабязныя прыклады - наступны
Лагістычная рэгрэсія
Асноўны артыкул: Лагістычная рэгрэсія
Лагістычныя функцыі выкарыстоўваюцца ў лагістычная рэгрэсія для мадэлявання таго, як на верагоднасць р падзеі можа паўплываць адна або некалькі тлумачальных зменных: прыклад можа мець мадэль |

a + + b b x x

крыніца Навіны, па тэме: X х тлумачальная зменная, а a і b - параметры мадэлі. для ўстаноўкі
Лагістычная рэгрэсія і іншыя лінейна-мадэльныя мадэлі таксама часта выкарыстоўваюцца ў машынным навучанні. Абагульненне лагістычнай функцыі на некалькіх уваходах - гэта функцыя актывацыі софт-макс, якая выкарыстоўваецца пры мультымінальнай лагістычнай рэгрэсіі. Яшчэ адно прымяненне лагістычнай функцыі знаходзіцца ў мадэлі Раша, якая выкарыстоўваецца ў тэорыі адказаў пункта У прыватнасці, г. зн мадэль Раша складае аснову для максімальнай ацэнкі верагоднасці размяшчэння аб'ектаў ці асоб на кантынууме, заснаванай на калекцыі катэгарычных дадзеных, напрыклад, здольнасцей людзей на кантынууме на аснове адказаў, якія былі аднесены да катэгорыі правільных і няправільных
Нейронныя сеткі
Лагістычныя функцыі часта выкарыстоўваюць у нейронных сетках для ўвядзення нелінейнасці ў мадэль і / або заціску сігналаў у межах зададзенага дыяпазону. Папулярны нейронны сеткавы элемент вылічвае лінейную камбінацыю ўваходных сігналаў і ўжывае абмежаваную лагістыку функцыя да выніку; гэтую мадэль можна разглядаць як "згладжаны" варыянт класічнага парогавага нейрона. Распаўсюджаны выбар для функцыі актывацыі або "рассякання", які выкарыстоўваецца для адсячэння вялікіх велічынь, каб захаваць рэакцыю нервовай сеткі абмежаванай [8].



h h




















> э э

& # x2212;
2
& # x03B2; гадзіну h >


, якая з'яўляецца лагістычнай функцыяй. Гэтыя адносіны прыводзяць да спрошчанага ўкаранення штучных нейронных сетак са штучнымі нейронамі. Практыкі перасцерагаюць, што сігмальныя функцыі, якія маюць антысіметрычны характар, напрыклад, гіпербалічная датычная прыводзіць да больш хуткай канвергенцыі пры навучанні netwo rks with backpropagation [9]
Лагістычная функцыя сама з'яўляецца вытворнай ад іншай прапанаванай функцыі актывацыі, softplus
У медыцыне: мадэляванне росту пухлін
Глядзіце таксама: Крывая Гомперца § Рост пухлін
Іншае прымяненне лагістычнай крывой знаходзіцца ў медыцыне, дзе для мадэлявання росту пухлін выкарыстоўваецца лагістычнае дыферэнцыяльнае раўнанне. Гэта дадатак можна лічыць пашырэннем вышэйзгаданага выкарыстання ў рамках экалогіі. Гл. Таксама Генералізаваная лагістычная крывая, што дазваляе атрымаць больш Параметры, якія абазначаюць Xt памерам пухліны ў момант t, яе дынамікай рэгулююць:



X

& # x2032; >
=
r

1
& # x2212;

X
K



| X


= r left1- rightX
той тып, які складаецца з тыпу: «дабраякаснае становішча», «X», & x2032;





дамоў, дабраўзроўня X, носьбіт X дабрацца да X
X |
& # x2264;
0


= F leftX rightX, F ^ X leq 0,

дзе FX з'яўляецца хуткасць праліферацыі пухліны - Калі хіміятэрапія пачынаецца з эфектам зрушэння лога, можа быць перагледжана ўраўненне, якое павінна быць перагледжана, каб змяніць тэмп. # x2032;

= = r

1
& # x2212;

X
K



X
& # x2212;
c

t

X


=rleft1- ightX-ctX

,
where ct is the therapy-induced death rate In the idealized case of very long therapy, ct can be modeled as a periodic function of period T or in case of continuous infusion therapy as a constant function, and one has that





1
T



&#x222B;

0


T



c

t


d
t

&gt;
r
&#x2192;

lim

t
&#x2192;
+
&#x221E;


x

t

=
0


int _^&gt;r ightarrow lim _xt=0

ie if the average therapy-induced death rate is greater than the baseline proliferation rate then there is the eradication of the disease Of course, this is an oversimplified model of both the growth and the therapy eg it does not take into account the phenomenon of clonal resistance
In chemistry: reaction models
The concentration of reactants and products in autocatalytic reactions follow the logistic function
In physics: Fermi distribution
The logistic function determines the statistical distribution of fermions over the energy states of a system in thermal equilibrium In particular, it is the distribution of the probabilities that each possible energy level is occupied by a fermion, according to Fermi–Dirac statistics
In linguistics: language change
In linguistics, the logistic function can be used to model language change:[10] an innovation that is at first marginal begins to spread more quickly with time, and then m ore slowly as it becomes more universally adopted
In economics and sociology: diffusion of innovations
The logistic function can be used to illustrate the progress of the diffusion of an innovation through its life cycle
In The Laws of Imitation 1890, Gabriel Tarde describes the rise and spread of new ideas through imitative chains In particular, Tarde identifies three main stages through which innovations spread: the first one corresponds to the difficult beginnings, during which the idea has to struggle within a hostile environment full of opposing habits and beliefs; the second one corresponds to the properly exponential take-off of the idea, with



f

x

=

2

x






; finally, the third stage is logarithmic, with



f

x

=
log
&#x2061;

x





, and corresponds to the time when the impulse of the idea gradually slows down while, simultaneously new opponent ideas appear The ensuing situation halts or stabilizes the progress of the innovation, which approaches an asymptote
In the history of economy, when new products are introduced there is an intense amount of research and development which leads to dramatic improvements in quality and reductions in cost This leads to a period of rapid industry growth Some of the more famous examples are: railroads, incandescent light bulbs, electrification, cars and air travel Eventually, dramatic improvement and cost reduction opportunities are exhausted, the product or process are in widespread use with few remaining potential new customers, and mark ets become saturated
Logistic analysis was used in papers by several researchers at the International Institute of Applied Systems Analysis IIASA These papers deal with the diffusion of various innovations, infrastructures and energy source substitutions and the role of work in the economy as well as with the long economic cycle Long economic cycles were investigated by Robert Ayres 1989[11] Cesare Marchetti published on long economic cycles and on diffusion of innovations[12][13] Arnulf Grübler’s book 1990 gives a detailed account of the diffusion of infrastructures including canals, railroads, highways and airlines, showing that their diffusion followed logistic shaped curves[14]
Carlota Perez used a logistic curve to illustrate the long Kondratiev business cycle with the following labels: beginning of a technological era as irruption, the ascent as frenzy, the rapid build out as synergy and the completion as maturity[15]
See also
Diffusion of innovations
Generalise d logistic curve
Gompertz curve
Heaviside step function
Hubbert curve
Logistic distribution
Logistic map
Logistic regression
Logistic smooth-transmission model
Logit
Log-likelihood ratio
Malthusian growth model
Population dynamics
r/K selection theory
Shifted Gompertz distribution
Tipping point sociology
Rectifier neural networks
Notes
^ Verhulst, Pierre-François 1838 "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" PDF Correspondance mathématique et physique 10: 113–121 Retrieved 3 December 2014 
^ Verhulst, Pierre-François 1845 "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population" [Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase] Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: 1–42 Retrieved 2013-02-18 
^ expit documentation for R's clusterPower package
^ Raul Rojas Neural Networks - A Systematic Introduction PDF Retri eved 15 October 2016 
^ A G McKendricka; M Kesava Paia1 January 1912 "XLV—The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study" Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 31: 649–653 doi:101017/S0370164600025426 
^ Raymond Pearl and Lowell Reed June 1920 "On the Rate of Growth of the Population of the United States" PDF Proc of the National Academy of Sciences 6 6 p 275 
^ Yukalov, V I; Yukalova, E P; Sornette, D 2009 "Punctuated evolution due to delayed carrying capacity" Physica D: Nonlinear Phenomena 238 17: 1752 doi:101016/jphysd200905011 
^ Gershenfeld 1999, p150
^ LeCun, Y; Bottou, L; Orr, G; Muller, K 1998 Orr, G; Muller, K, eds Efficient BackProp PDF Neural Networks: Tricks of the trade Springer ISBN 3-540-65311-2 
^ Bod, Hay, Jennedy eds 2003, pp 147–156
^ Ayres, Robert 1989 "Technological Transformations and Long Waves" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1996 "Pervasive Long Waves: Is Society Cyclotymic" PDF 
^ Marchetti, Cesare 1988 "Kondratiev Revisited-After One Cycle" PDF 
^ Grübler, Arnulf 1990 The Rise and Fall of Infrastructures: Dynamics of Evolution and Technological Change in Transport PDF Heidelberg and New York: Physica-Verlag 
^ Perez, Carlota 2002 Technological Revolutions and Financial Capital: The Dynamics of Bubbles and Golden Ages UK: Edward Elgar Publishing Limited ISBN 1-84376-331-1 
References
Jannedy, Stefanie; Bod, Rens; Hay, Jennifer 2003 Probabilistic Linguistics Cambridge, Massachusetts: MIT Press ISBN 0-262-52338-8 
Gershenfeld, Neil A 1999 The Nature of Mathematical Modeling Cambridge, UK: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-57095-4 
Kingsland, Sharon E 1995 Modeling nature: episodes in the history of population ecology Chicago: University of Chicago Press ISBN 0-226-43728-0 
Weisstein, Eric W "Logistic Equation" MathWorld 
External links
LJ Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve, accessed 2009-09-12
http://lunacasusfedu/~mbrannic/files/regression/Logistichtml
Weisstein, Eric W "Sigmoid Function" MathWorld 
Online experiments with JSXGraph
Esses are everywhere
Seeing the s-curve is everything


Logistic function

Random Posts

The San Francisco Examiner

The San Francisco Examiner

The San Francisco Examiner is a longtime daily newspaper distributed in and around San Francisco, Ca...
Frederator Films

Frederator Films

Frederator Films is an animation studio founded by Fred Seibert as part of Frederator Studios, with ...
John Hasbrouck Van Vleck

John Hasbrouck Van Vleck

John Hasbrouck Van Vleck March 13, 1899 – October 27, 1980 was an American physicist and mathematici...
Christian Lacroix

Christian Lacroix

Christian Marie Marc Lacroix French pronunciation: ​kʁistjɑ̃ lakʁwa; born 16 May 1951 is a Fren...