TR | RU | UK | KK | EN |

Задача двух цел

задача двух целки, задача двух целебрекс
У класічнай механіцы, задача двух цел заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з'яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах. Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон - Харон.

Змест

  • 1 Пастаноўка задачы
    • 1.1 Рух цэнтра мас (першая задача)
    • 1.2 Адносны рух (другая задача)
  • 2 Рашэнне задачы двух цел
  • 3 Рух двух цел у плоскасці
  • 4 Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці
    • 4.1 Прымяненне
  • 5 Задача двух цел у АТА
  • 6 Прыклад
  • 7 Гл. таксама
  • 8 Зноскі
  • 9 Літаратура

Пастаноўка задачы

Няхай і радыус-вектары двух цел, а і іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю і для любога часу , пры зададзеных пачатковых каардынатах

і хуткасцях

.

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

дзе

— сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам, — сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. "Складанне" раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, "адыманне" раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый и .

Рух цэнтра мас (першая задача)

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана , і дзе

становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

Яно паказвае, што хуткасць цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

Адносны рух (другая задача)

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана і (азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі , а не абсалютных радыус-вектараў і ; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

дзе -прыведзеная маса

Як толькі мы знойдзем рашэнне для і першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для і .

Рашэнне задачы двух цел

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

дзе a і b – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз r становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і M - іх агульную масу:

атрымаем

гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

    где    

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

    где    

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на r і інтэгруючы, атрымаем

Пастаянны вектар h, які з'яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат r,?, z. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як i, j і k. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

Тады

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам r за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з'яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

Падрабязны вывад  

Распішам апошні выраз у каардынатах:

Памецім, што

Тады

Інтэгруючы абедзве часткі, атрымаем

Апошні стасунак з'яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасці

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс і момант імпульсу

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць Адсюль і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння і хуткасць яго змянення ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара .

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла ёсць функцыяй радыуса А раз r-кампанента паскарэння раўняецца ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння можна перапісаць у выглядзе

дзе і момант імпульсу захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі , выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад да

атрымаем ўраўненне руху

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на

Прымяненне

Для сіл , адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

для некаторых канстант , ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

Рашэнне гэтага ўраўнення

дзе і - пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго меншая за выраз , большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТА

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб'екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

Прыклад

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.

Гл. таксама

  • Законы Кеплера
  • Задача Бертрана
  • Задача трох цел
  • Гравітацыйная задача N цел

Зноскі

  1. ↑ David Shiga 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits. NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012.

Літаратура

  • Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

задача двух целебрекс, задача двух целебрекс, задача двух целиакия, задача двух целиакия, задача двух целки, задача двух целки, задача двух целлюлит, задача двух целлюлит


Задача двух цел Інфармацыю Аб

Задача двух цел


  • user icon

    Задача двух цел beatiful post thanks!

    29.10.2014


Задача двух цел
Задача двух цел
Задача двух цел Вы праглядаеце суб'ект
Задача двух цел што, Задача двух цел хто, Задача двух цел апісанне

There are excerpts from wikipedia on this article and video

Выпадковыя Артыкула

Макар’еў

Макар’еў

Макар'еў руск: Мака́рьев — горад з 1778 года у Расіі, адміністрацыйны цэнтр Макар'еўскага раёна...
Сцяпан Захаравіч Гаўрусёў

Сцяпан Захаравіч Гаўрусёў

Сцяпан Захаравіч Гаўрусёў Дата нараджэння: 10 мая 1931(1931-05-10) Месца нараджэння: в. Нова...
Гародна

Гародна

Назву Гаро́дна маюць: Змест 1 Азёры 1.1 Беларусь 1.2 Віцебская вобласць 1.3 Брэсцкая вобласць ...
307 да н.э.

307 да н.э.

гады 309 да н.э. 308 да н.э. 307 да н.э. 306 да н.э. 305 да н.э. дзесяцігоддзі 320-я да н...