Эллипс


Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причём

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Эллипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость.

Содержание

  • 1 Связанные определения
  • 2 Свойства
  • 3 Соотношения между элементами эллипса
  • 4 Координатное представление
    • 4.1 Эллипс как кривая второго порядка
    • 4.2 Каноническое уравнение
    • 4.3 Уравнения в параметрической форме
    • 4.4 В полярных координатах
  • 5 Длина дуги эллипса
    • 5.1 Приближённые формулы для периметра
  • 6 Площадь эллипса и его сегмента
  • 7 Построение эллипса
  • 8 См. также
  • 9 Примечания
  • 10 Литература
  • 11 Ссылки

Связанные определения

  • Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние называется фокальным расстоянием.
  • Величина называется эксцентриситетом.
  • Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
  • Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле , где  — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.
  • Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением
  • Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как для фокусов соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно

Свойства

  • Оптические
    • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
    • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
  • Если и  — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
  • Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
  • Эксцентриситет эллипса равен отношению Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Эллипс также можно описать как
    • фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование
    • ортогональную проекцию окружности на плоскость.
    • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Соотношения между элементами эллипса

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)
  •  — большая полуось;
  •  — малая полуось;
  •  — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
  •  — фокальный параметр;
  •  — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
  •  — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

.













 — большая полуось
 — малая полуось
 — фокальное расстояние
 — фокальный параметр
 — перифокусное расстояние
 — апофокусное расстояние

Координатное представление

Эллипс как кривая второго порядка

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ):

Соотношения  

Если переписать общее уравнение в виде

то координаты центра эллипса:

угол вращения определяется из выражения

Направления векторов осей:

отсюда

Длины полуосей определяются выражениями

Обратное соотношение - коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса - можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку :

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в Декартовой системе координат, коэффициенты (или, что то же самое, ) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. приведённая выше запись и

где , являются эквивалентными. Поэтому нельзя ожидать, что выражение вида

будет выполнено при любом .

Соотношение между инвариантой и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:

где     - коэффициент при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:

Каноническое уравнение

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):

Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. [1]

Соотношения  

Для определённости положим, что В этом случае величины и — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:

Координаты фокусов эллипса:

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как

Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой

Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом :

Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид

Условие касания прямой и эллипса записывается в виде соотношения

Уравнение касательных, проходящих через точку

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент :

точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса где касательная имеет угол с тангенсом ):

Уравнение нормали в точке

Уравнения в параметрической форме

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где  — параметр уравнения.

В случае окружности параметр является углом между радиус-вектором данной точки и положительным направлением оси абсцисс.

В полярных координатах

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. При отрицательном знаке перед e второй фокус эллипса будет находиться в точке а при положительном — в точке где фокальное расстояние

Вывод  

Пусть r1 и r2 — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов. Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол отсчитывается от направления на второй фокус. Тогда, из определения эллипса,

Отсюда,

С другой стороны, из теоремы косинусов

Исключая из последних двух уравнений, получаем

Учитывая, что

получаем искомое уравнение.

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

,

где  — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

, где

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Площадь эллипса и его сегмента

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки и

[источник не указан 1116 дней]

Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле

.

Построение эллипса

Эллипсограф в действии Построение с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

  • эллипсограф;
  • две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

См. также

  • Кривая второго порядка
  • Парабола
  • Каустика
  • Эллипсоид
  • Эллипсограф
  • Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола,
  • постоянного отношения — окружность Аполлония,
  • постоянного произведения — овал Кассини.

Примечания

  1. Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение: описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.

Литература

  • Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 70—73.
  • Селиванов Д. Ф.,. Эллипс // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

  • А. В. Акопян, А. А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
  • И. Бронштейн. Эллипс // Квант, № 9, 1970.
  • А. И. Маркушевич. Замечательные кривые // «Популярные лекции по математике», выпуск 4.
  • S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae
  • Grard P. Michon. Perimeter of an Ellipse (Final Answers), 2000—2005. — 20 c.
  • Видео: Как нарисовать эллипс


Эллипс информация о

Эллипс

Эллипс
Эллипс

Эллипс о видео


Эллипс Вы читаете эту тему.
Эллипс какие, Эллипс кто, Эллипс описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video